2. Teilbarkeitsdiagramme

Primzahlen sind über die Teilbarkeit definiert und es liegt daher nahe, sie mit Hilfe von Visualisierungen der Teilbarkeitsrelation zu erläutern. Die Teilbarkeitsrelation Div auf den positiven natürlichen Zahlen ist definiert durch

Div  =  { (a, b) | a, b ≥ 1, a ist ein Teiler von b }.

Einen Ausschnitt dieser Relation können wir darstellen, indem wir für eine Grenze n alle Elemente (a, b) der Relation mit a, b ≤ n als Punkte in ein (n × n)-Gitter einzeichnen:

Das Diagramm können wir erzeugen, indem wir in die erste Spalte alle Vielfachen der 1, in die zweite Spalte alle Vielfachen der 2 usw. eintragen. Die Primzahlen lassen sich nun ablesen:

Die Unendlichkeit der Primzahlen besagt, dass die Teilbarkeitsrelation immer wieder Waagrechten aufweist, auf denen genau zwei Punkte liegen. Liegen genau drei Punkte auf der k-ten Waagrechten, so ist k das Quadrat einer Primzahl. Der Leser verfolge dies für die Zahlen 4, 9 und 25 im obigen Diagramm.

 Auf der k-ten Waagrechten sind alle Teiler von k eingetragen, sodass wir die Anzahl τ(k) der Teiler von k abzählen können. Wir hatten zwei Zahlen k und m teilerfremd oder relativ prim genannt, wenn die 1 die einzige Zahl ist, die sowohl k als auch m teilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Waagrechten von k und m nur den ersten Punkt gemeinsam haben. Für alle k sind k und k + 1 teilerfremd.

 Die Teilbarkeitsrelation hat bemerkenswerte Eigenschaften. Im Detail wirkt sie an vielen Stellen zufällig und ungeordnet, im großen Ganzen dagegen sehen wir zahlreiche Muster. Die folgenden Diagramme geben einen Eindruck davon. In den beiden letzten Diagrammen zeigen wir die Primzahl-Waagrechten der Übersichtlichkeit halber im rechten unteren Bereich.

Teilbarkeitsdiagramme für die ganzen Zahlen

 In den ganzen Zahlen gilt für alle a, b:

a ist ein Teiler von b  genau dann, wenn  |a| ist ein Teiler von |b|.

Zudem ist jede ganze Zahl ein Teiler der Null. Damit erhalten wir Diagramme für die Teilbarkeitsrelation in den ganzen Zahlen, indem wir unsere Diagramme für die positiven natürlichen Zahlen an beiden Achsen spiegeln und zudem die x-Achse hinzufügen: