2. Die Riemannsche Zeta-Funktion

Unsere Überlegungen für die harmonische Reihe aus dem vorangehenden Essay lassen sich in analoger Weise für die Reihe

∑_n ≥ 1 ¹_n²

der reziproken Quadratzahlen durchführen. Wir erhalten so einen neuen Beweis für die Konvergenz dieser Reihe. Anstelle der Funktion 1/⌊x⌋ verwenden wir nun die Funktion 1/⌊x⌋² für x ≥ 1.

Unser Verschiebungsargument zeigt erneut, dass die Summe der Flächeninhalte von A₁, A₂, …, A_n endlich ist und genauer echte durch 1 beschränkt ist (sie passen alle in das Quadrat [ 1, 2 ] × [ 0, 1 ] mit positivem Rest). Im Gegensatz zu 1/x ist die Fläche unter der Funktion 1/x² nun endlich. Denn es gilt

∫ⁿ₁ ¹_x² dx = ${- \frac{1}{x}|}_{x = 1}^{x = n}$ = 1 − ¹_n.

Damit ergibt sich, dass die Reihe ∑_n ≥ 1 1/n² konvergent ist mit

∑_n ≥ 1 ¹_n² < 1 + lim_{n → ∞}(1 − 1/n) = 1 + 1 = 2

Der exakte Wert der Reihe ist, wie Euler gezeigt hat, π²/6 = 1.64493… Die Summe der blauen Flächen des Diagramms ist also π²/6 − 1 = 0,64… Dieser Wert entspricht der Konstanten γ = 0,57… für die harmonische Reihe.

Analog zeigt das Argument, dass die unendliche Reihe

∑_n ≥ 1 ¹_n^s

für jede reelle Zahl s > 1 konvergiert. Denn ist s > 1, so gilt

∫ⁿ₁ ¹_x^s dx = ∫ⁿ₁ x^−s dx = ${\frac{1}{- s + 1} x^{- s + 1}|}_{x = 1}^{x = n}$ = ¹_{1 − s}(n^1 − s − 1)

mit

lim_{n → ∞} ¹_{1 − s}(n^1 − s − 1) = ¹_s − 1 < ∞.

Damit ist die Reihe ∑_n ≥ 1 1/n^s konvergent mit

r_s < ∑_n ≥ 1 ¹_n^s < 1 + r_s, wobei r_s = ¹_s − 1.

Es gilt lim_{s→1, s > 1} r_s = ∞. Der Exponent s = 1 entspricht der Divergenz der harmonischen Reihe.

Wir definieren:

Definition (Riemannsche Zeta-Funktion)

Wir definieren die reelle Riemannsche Zeta-Funktion ζ : ] 1, ∞ [ → ℝ durch

ζ(s) = ∑_n ≥ 1 ¹_n^s für alle s > 1.

Traditionell wird für die Stellen der Zeta-Funktion der Buchstabe s verwendet.

Für alle s > 1 sind alle Summanden von ∑_n ≥ 1 1/n^s positiv und der erste Summand 1/n^s ist gleich 1. Damit zeigen unsere Überlegungen:

Satz (Abschätzung der Zeta-Funktion)

Für alle s > 1 gilt

max(r_s, 1) < ∑_n ≥ 1 ¹_n^s < 1 + r_s, wobei r_s = ¹_s − 1.

Inbesondere gilt lim_s → 1 ζ(s) = ∞ und lim_{s → ∞} ζ(s) = 1.

Die Zeta-Funktion auf ] 1, ∞ [ mit den Abschätzungen 1/(s−1) und 1 + 1/(s−1)

Der Zusammenhang zwischen dem Euler-Produkt und der Divergenz der harmonischen Reihe können wir nun erweitern:

Satz (Zeta-Funktion als Euler-Produkt)

Für alle s > 1 gilt

ζ(s) = ∏_{p prim} ¹_{1 − 1/p^s}.

Beweis

Sei s > 1. Wir argumentieren wie im Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen von Euler, wobei wir nun verwenden, dass

¹_{1 − 1/p^s} = ∑_n ≥ 0 (¹_p^s)ⁿ = ∑_n ≥ 0 ¹_p^sn für alle Primzahlen p.

Das distributive Ausmultiplizieren von endlich vielen geometrischen Reihen auf der rechten Seite für Primzahlen p₁ < … < p_k erzeugt genau die Summanden 1/n^s der Zeta-Funktion, deren Nenner-Basis n durch p₁, …, p_k darstellbar ist. Durch einen Grenzübergang ergibt sich die Behauptung.

Der Polstelle der Zeta-Funktion entspricht die Unendlichkeit des Euler-Produkts für s = 1 und damit die Unendlichkeit der Primzahlen.