Die Ordnung der reellen Zahlen
Auf den ersten Blick ist verblüffend, dass die rationalen Zahlen einerseits abzählbar sind, andererseits aber zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt. Diese Eigenschaft verdient einen eigenen Namen.
Definition (dicht in, separabel)
Sei 〈 M, < 〉 eine lineare Ordnung, und sei Q ⊆ M. Q heißt dicht in 〈 M, < 〉, falls für alle a, b ∈ M mit a < b ein q ∈ Q existiert mit a < q < b.
〈 M, < 〉 heißt separabel, falls eine abzählbare dichte Teilmenge von M existiert.
Das charakterisierende Trio für die reellen Zahlen lautet nun: unbeschränkt, vollständig und separabel.
Satz (ordnungstheoretische Charakterisierung des Kontinuums)
Sei 〈 M, < 〉 eine unbeschränkte, vollständige und separable lineare Ordnung.
Dann gilt 〈 M, < 〉 ≡ 〈 ℝ, < 〉.
Der Satz geht ebenfalls auf Cantor zurück. Eine Variante davon findet sich in [ Cantor 1895 ]. Zermelo hat dann 1932 obige Version vorgeschlagen ( vgl. [ Cantor 1932 ]).
Beweis
Sei Q ⊆ M abzählbar und dicht in M.
Dann ist Q auch unbeschränkt und dicht, also 〈 Q, < 〉 ≡ 〈 ℚ, < 〉.
Sei f : Q → ℚ ein Ordnungsisomorphismus. Wir setzen für x ∈ M:
g(x) = sup({ f (q) | q ∈ Q, q < x }) (dies ist wohldefiniert !).
Q ist dicht in M, also ist x = sup({ q | q ∈ Q, q < x }) für alle x ∈ ℚ.
Da f : Q → ℚ ein Ordnungsisomorphismus ist, gilt
f (x) = sup({ f (q) | q ∈ Q, q < x }) für alle x ∈ Q.
Somit ist g(x) = f (x) für alle x ∈ Q, d. h. g ist eine Fortsetzung von f.
Seien x, y ∈ M, x < y, und sei z ∈ Q mit x < z < y. Dann ist
g(x) < f (z) < g(y). Also ist g ordnungserhaltend und damit injektiv.
g ist zudem surjektiv. Denn sei x′ ∈ ℝ und X′ = { q ∈ ℚ | q < x′ }.
Dann ist x′ = sup(X′). Sei X = f −1″X′ ⊆ Q und x = sup(X).
Dann ist g(x) = sup({ f (q) | q ∈ X }) = sup({ q | q ∈ X′ }) = x′.
Also ist g : M → ℝ ein Ordnungsisomorphismus.
Der Beweis verwendet wieder keine speziellen Eigenschaften von ℝ, und zeigt de facto, dass je zwei unbeschränkte, separable und vollständige lineare Ordnungen isomorph sind.
Der Beweis zeigt genauer die folgende Universalitätseigenschaft der reellen Ordnung:
Korollar (Universalität von ℝ)
Sei 〈 M, < 〉 eine unbeschränkte und separable lineare Ordnung.
Dann lässt sich 〈 M, < 〉 ordnungstreu und supremumserhaltend in 〈 ℝ, < 〉 einbetten.
Mit Hilfe von Dedekindschen Schnitten kann man, wenn man die reellen Zahlen noch nicht kennt, leicht aus 〈 ℚ, < 〉 eine unbeschränkte, separable und vollständige Ordnung konstruieren. Wir besprechen dieses Konstruktionsverfahren unten.
Wir betrachten zum Abschluss der ordnungstheoretischen Charakterisierung noch einen weiteren natürlichen Versuch, die Ordnung der reellen Zahlen bis auf Isomorphie zu charakterisieren.
Sei 〈 M, < 〉 eine lineare Ordnung, und sei I ⊆ M. I heißt ein Intervall in 〈 M, < 〉, falls für alle a, b ∈ I gilt: Ist c ∈ M und a < c < b, so ist c ∈ I. Wie für reelle Intervalle sind „offen“, „geschlossen“ und ] a, b [ , [ a, b [, ] a, b ], [ a, b ] definiert. In vollständigen linearen Ordnungen ist jedes beschränkte offene Intervall von der Form ] a, b [.
Definition (abzählbare Antiketten-Bedingung)
Eine lineare Ordnung 〈 M, < 〉 erfüllt die (abzählbare) Antiketten-Bedingung, falls jede Menge von paarweise disjunkten offenen Intervallen von M abzählbar ist.
Ist 〈 M, < 〉 separabel, so erfüllt 〈 M, < 〉 die Antiketten-Bedingung (!). Insbesondere erfüllt 〈 ℝ, < 〉 die Antiketten-Bedingung. Die Suslin-Hypothese (1920) lautet nun:
Suslin-Hypothese (SH)
Sei 〈 M, < 〉 eine unbeschränkte, dichte und vollständige lineare Ordnung, die die Antiketten-Bedingung erfüllt. Dann ist 〈 M, < 〉 ≡ 〈 ℝ, < 〉.
Die Suslin-Hypothese ist äquivalent zu: Jede dichte lineare Ordnung, die die Antiketten-Bedingung erfüllt, ist separabel. Zum Beweis wird die Dedekind-Vervollständigung verwendet.
Es verhält sich mit der Suslin-Hypothese wie mit (CH): Sie ist weder beweisbar noch widerlegbar [ Jech 1967, Jensen 1968, Tennenbaum 1968, Solovay / Tennenbaum 1971 ]. Auch im Reich der Ordnungstheorie stoßen wir also bei der Untersuchung des Kontinuums überraschend schnell an die Grenzen der Beweisbarkeit!