Baireraum, Cantorraum und Kontinuum im Vergleich

 Nach diesen einführenden Betrachtungen der Folgenräume vergleichen wir nun den Baireraum, den Cantorraum und die klassischen reellen Zahlen untereinander, und suchen nach natürlichen Abbildungen zwischen diesen Räumen.

 Es gibt drei mögliche Paarungen. Wir beginnen mit 𝒩 und ℝ.

𝒩  versus  ℝ

 Wir untersuchen das Verhältnis von 𝒩 und ℝ zunächst unter Rückgriff auf die Ergebnisse über unendliche Kettenbrüche aus Kapitel 1.1.

 Für ein f  ∈  𝒩 sei φ(f) = 1/[ f (0) + 1, f (1) + 1, f (2) + 1, … ].

Nach den Sätzen über Kettenbrüche ist dann φ : 𝒩 → [ 0, 1 ] − ℚ ein Homöomorphismus zwischen dem Baireraum und den irrationalen Zahlen des reellen Einheitsintervalls. Die Dynamik dieser Abbildung lässt sich einfach visualisieren. Wir tragen [ 0, 1 ] senkrecht auf, und notieren rechts einige s  ∈  Seq. Die Position von s = 〈 s(0), s(1), …, s(n) 〉 entspricht dabei den reellen Werten 1/[ s(0) + 1, …, s(n) + 1 ]. Wir verwenden hierbei die Gleichung [ n₀, … , n_k + 1 ] = [ n₀, …, n_k, 1 ] für endliche Kettenbrüche mit n_i ≥ 1.

 Die n-te Spalte neben dem Intervall [ 0, 1 ] enthält alle s  ∈  Seq der Länge n. Die Pfeile unter den Spalten deuten die Veränderung der Positionen von Folgen s an, wenn deren letzter Eintrag schrittweise erhöht wird. Dabei werden keine anderen Folgen oder Trennlinien übersprungen. Die Pfeilrichtung wechselt nach jeder Spalte.

 Damit ergibt sich das folgende Bild, wenn wir nur an der Lage der Folgen s untereinander interessiert sind: Wir teilen rekursiv ein Intervall I_s ⊆ [ 0, 1 ], s  ∈  Seq, in unendlich viele abgeschlossene und sich berührende Teilintervalle I_s0, I_s1, I_s2, … auf, startend mit I_∅ = [ 0, 1 ]. Genauer wird die Unterteilung durch eine Folge gegeben, die gegen den rechten Randpunkt von I_s konvergiert, falls s gerade Länge hat, und gegen den linken Randpunkt von I_s sonst. Die Längen aller Intervalle I_f|n können wir durch geeignete Wahl der Unterteilungspunkte gegen Null für alle f  ∈  𝒩 konvergieren lassen. Wir definieren dann die eindeutige reelle Zahl x mit ⋂_{n  ∈  ℕ} I_f|n = { x } als ξ(f). Die entstehende Funktion ξ ist dann ein Homöomorphismus zwischen 𝒩 und [ 0, 1 ] − A, wobei A eine abzählbare dichte Teilmenge von [ 0, 1 ] ist, nämlich die Menge aller Intervallgrenzen der Konstruktion.

 Wählen wir die Intervallzerlegungen nun nach den reziproken Werten von endlichen Kettenbrüchen wie im Diagramm oben, so erhalten wir genau die Abbildung φ : 𝒩 → [ 0, 1 ] − ℚ. Die Kettenbruch-Abbildung φ ist damit nur ein spezielles Beispiel einer allgemeinen Konstruktion, die für beliebige abzählbare und dichte Teilmengen A von [ 0, 1 ] mit 0, 1  ∈  A einen Homöomorphismus ξ : 𝒩 → [ 0, 1 ] − A liefert. Der Wechsel der Pfeilrichtung, der für die Abbildung φ durch das Pendelverhalten der endlichen Kettenbrüche gewährleistet wird, ist wesentlich für die Stetigkeit von ξ⁻¹:

 Den Effekt des Wechsels der Pfeilrichtung können wir auch erreichen, indem wir die Intervalle I_s iteriert in neue Intervalle zerlegen, deren Endpunkte wie die ganzen Zahlen geordnet sind. Dieses Vorgehen liefert Homöomorphismen von 𝒩 nach [ 0, 1 ] − A, wenn die Menge A aller Intervallgrenzen dicht in [ 0, 1 ] liegt. Wir wollen diese Konstruktion nach dem gerade skizzierten Vorgehen nun formal durchführen. Hierzu ist es natürlich, den zu 𝒩 homöomorphen Raum 𝒵 = ^ℕℤ zu betrachten, versehen mit der durch die Mengen Z_s = { f  ∈  ^ℕℤ | s ⊆ f } für endliche Folgen s in ℤ erzeugten Topologie.

 Sei A eine abzählbare und dichte Teilmenge von [ 0, 1 ], etwa A = ℚ ∩ [ 0, 1 ], oder A = „die Menge der algebraischen Zahlen im Einheitsintervall“. Wir fixieren eine Aufzählung q₀, q₁, … von A ohne Wiederholungen.

 Für reelle 0 ≤ a < b ≤ 1 definieren wir nun rekursiv für n  ∈  ℕ:

und setzen I_j([ a, b ]) = [ c_j, c_j + 1 ] für j  ∈  ℤ. Damit haben wir [ a, b ] in ℤ-viele (im ordnungstheoretischen Sinn) Intervalle zerlegt.

 Wir definieren nun rekursiv abgeschlossene Intervalle I_s für s  ∈  Seq_ℤ durch

Dann besteht ⋂_{n  ∈  ℕ} I_f|n aus genau einem Punkt ξ(f) für alle f  ∈  𝒵 (!), und die Abbildung ξ : 𝒵 → ] 0, 1 [ − A ist ein Homöomorphismus.

 Wir wollen nun noch die endlichen Folgen in die Abbildung ξ mit einbinden. Sei hierzu 𝒵* = 𝒵 ∪ Seq_ℤ − { ∅ }. Wir definieren für f, g  ∈  𝒵* mit f ≠ g:

f  <  g  falls  f (δ)  <  g(δ)  für δ = δ(f, g),

wobei wir uns hier Elemente von Seq_ℤ − { ∅ } um einen letzten Wert −∞ fortgesetzt denken. Dann existiert δ(f, g) für alle f ≠ g und es gilt f < g, falls f ⊂ g. Mit dieser Verabredung ist z. B. 〈 1, 0, 0 〉 = 〈 1, 0, 0, − ∞ 〉 < 〈 1, 0, 0, −10, … 〉. Dagegen ist etwa 〈 1, −1, 2, … 〉 < 〈 1, 0 〉 = 〈 1, 0, − ∞ 〉.

 Die entstehende Ordnung ist linear, und wir versehen 𝒵* mit der durch die offenen Intervalle I_f, g = { h  ∈  𝒵* | f < h < g } erzeugten Topologie. Dann ist die Topologie auf 𝒵 die Relativtopologie dieser Ordnungstopologie, und wir können ξ zu einem Homöomorphismus ξ*  :  𝒵*  →  ] 0, 1 [ erweitern durch:

ξ*(s)  =  „der linke Randpunkt von I_s“  für s  ∈  Seq_ℤ, s ≠ ∅.

ξ* ist dann auch ein Ordnungsisomorphismus zwischen 〈 𝒵*, < 〉 und dem offenen reellen Einheitsintervall, versehen mit der üblichen Ordnung. (Definiert man die Ordnung auf 𝒵* mit Hilfe von ∞ statt −∞, so setzt man ξ*(s) = „der rechte Randpunkt von I_s“.)

 Die Abbildung ξ* : 𝒵* → ] 0, 1 [ lässt sich wie folgt visualisieren. Man zeichnet die Punkte (ℓ_s, 1 − 1/2^|s|) für s  ∈  Seq_ℤ in das Quadrat [ 0, 1 ]² ein, wobei ℓ_s den linken Randpunkt des Intervalls I_s bezeichnet. Die Menge [ 0, 1 ] × { 1 } ist eine Teilmenge der Häufungspunkte der so entstehenden Punktmenge. Für jedes f  ∈  𝒵 ist der Limes der Folge 〈 (ℓ_f|n, 1 − 1/2ⁿ) | n  ∈  ℕ 〉 im ℝ² gerade der Punkt (ξ*(f), 1). Für s  ∈  Seq_ℤ ist ξ*(s) = ℓ_s, also (ξ*(s), 1) = (ℓ_s, 1).

 Mit diesen topologischen Konstruktionen kann ℝ − oder jedes offene reelle Intervall − als der Raum [ Seq_ℤ ] ∪ Seq_ℤ angesehen werden, wobei wir den leeren Knoten streichen, um keinen linken (oder rechten) Randpunkt zu erzeugen. Wählen wir speziell A = ℚ, so ist Seq_ℤ − { ∅ } die Menge der rationalen Zahlen.

𝒞  versus  ℝ

 Der Cantorraum 𝒞 ist homöomorph zur bekannten Cantormenge C ⊆ ℝ, versehen mit der Relativtopologie von ℝ. Dabei ist C = ⋂_{n  ∈  ℕ} C_n für die rekursiv definierten kompakten Mengen C_n ⊆ ℝ, die durch iterierte Entfernung der offenen mittleren Drittelintervalle aus [ 0, 1 ] entstehen, also

C₀  =  [ 0, 1 ],

C₁  =  [ 0, 1/3 ]  ∪  [ 2/3, 1 ],

C₂  =  [ 0, 1/9 ]  ∪  [ 2/9, 1/3 ]  ∪  [ 2/3, 7/9 ]  ∪  [ 8/9, 1 ],  usw.

Die Menge C lässt sich auch direkt definieren als Menge aller Punkte des Einheitsintervalls, die eine 3-adische Entwicklung besitzen, in denen keine 1 vorkommt.

 Die Elemente von 𝒞 kodieren offenbar Elemente von C in einer der Schnittdarstellung von C entsprechenden Dynamik. Eine 0 bzw. 1 in einer Folge f in 𝒞 können wir als „wähle das linke bzw. rechte Drittel des aktuellen Intervalls als neues aktuelles Intervall“ lesen. Startend mit [ 0, 1 ] erhalten wir so durch Schnittbildung aller gemäß den Aufforderungen f (0), f (1), f (2), … besuchten Intervalle eine f zugeordnete reelle Zahl x = ξ(f). Die entstehende Abbildung ξ von 𝒞 nach C ist ein Homöomorphismus.

 Statt ein inneres Intervall aus [ 0, 1 ] zu entfernen, können wir für n ≥ 2 allgemein n − 1 innere Intervalle aus [ 0, 1 ] entfernen und dies iterieren. Die Homöomorphie der Räume 𝒞_n für n ≥ 2 zeigt für ℝ, dass eine derartige iterierte Ausdünnung eines kompakten Intervalls ein zur Cantormenge topologisch äquivalentes Ergebnis hinterlässt. Wir können sogar die Anzahl n der entfernten Intervalle von der Stelle der Konstruktion abhängig machen und etwa abwechselnd zwei bzw. drei Intervalle entfernen. Das Ergebnis ist homöomorph zu [ T ] für einen endlichen verzweigten perfekten Baum T, und [ T ] ist homöomorph zu 𝒞.

 Die erste Idee einer Vermittlung zwischen dem Cantorraum und dem Kontinuum ist aber vielleicht nicht die Bijektion zwischen 𝒞 und der Cantormenge C, sondern die Abbildung ξ : 𝒞 → [ 0, 1 ] mit

ξ(g)  =  ∑_{n  ∈  ℕ} g(n)/2^n + 1  für g  ∈  𝒞,

die ein g  ∈  𝒞 als reelle Zahl 0, g(0) g(1) g(2) … in Binärdarstellung auffasst. ξ ist surjektiv und stetig, aber nicht injektiv. Im Sinne der obigen iterierten Zerlegung von I_{〈   〉} = [ 0, 1 ] ist die Abbildung ξ das Ergebnis der iterierten Zerlegung von I_s in zwei Teile für s  ∈  Seq₂.

 Die Abbildung ξ „verklebt“ je zwei Elemente der Form s ⁀ 〈  0, 1, 1, 1, … 〉 und s ⁀ 〈 1, 0, 0, 0, … 〉 von 𝒞 (und nur solche). Das Intervall [ 0, 1 ] ist homöomorph zum topologischen Quotientenraum 𝒞/≡ , mit g₁ ≡  g₂, falls ξ(g₁) = ξ(g₂) (ein U ⊆ 𝒞/≡  ist offen in 𝒞/≡  gdw ⋃U ist offen in 𝒞). Das Verkleben von ξ entspricht folgendem Vorgang: Wir identifizieren 𝒞 mit der Cantormenge C. Nun ziehen wir die abzählbar vielen bei der Konstruktion von C entfernten Intervalle zu je einem einzigen Punkt zusammen, d. h. wir identifizieren die Intervallgrenzen. Dadurch entsteht ein zu [ 0, 1 ] homöomorpher Raum, in dem die alten Intervallgrenzen von C zu einer abzählbaren dichten Teilmenge geworden sind. Andersherum betrachtet heißt das: C entsteht, wenn wir in [ 0, 1 ] jede rationale Zahl in eine „linke und rechte Hälfte“ zerteilen, und die beiden Hälften dann nicht mehr miteinander identifizieren, sondern auseinanderschieben und als voneinander getrennt betrachten.

𝒩  versus  𝒞

 So verschieden die Räume 𝒩 und 𝒞 auch sind, so gibt es doch sehr natürliche Homöomorphismen zwischen 𝒩 und „fast ganz“ 𝒞. Wir können z. B. 5  ∈  ℕ durch 00000 oder 11111 kodieren, und so ein f  ∈  𝒩 in ein g  ∈  𝒞 umformen. Dies suggeriert zwei Abbildungen von 𝒩 nach 𝒞. Bei der ersten kodieren wir n  ∈  ℕ durch (o. E.) 1-Ketten und verwenden die 0 als Trennfuge, bei der zweiten wechseln wir demokratisch zwischen einer Kodierung durch 0- bzw. 1-Folgen ab. Die genauen Definitionen lauten:

Es gilt dann:

 Die beiden Abbildungen sind Homöomorphismen zwischen 𝒩 und ihren Wertebereichen in 𝒞, und sie lassen jeweils abzählbar viele Werte aus 𝒞 aus. ψ₂ hat gegenüber ψ₁ den Vorteil, dass h ∘ ψ₂  : 𝒩 → [ 0, 1 ] ein Homöomorphismus zwischen 𝒩 und rng(h ∘ ψ₂) ist, wobei wieder h(g) = ∑_{n  ∈  ℕ} g(n)/2^n + 1 für g  ∈  𝒞. Wie schon bei Einbettungen von 𝒩 nach [ 0, 1 ] ist also ein symmetrischer Ansatz von Vorteil.

 Wir werden im nächsten Kapitel noch eine weitere konkrete und natürliche Abbildung ψ₃ : 𝒩 → 𝒞 angeben. Sie ist wie ψ₁ und ψ₂ stetig, aber im Gegensatz zu ψ₁ und ψ₂ sogar bijektiv. Die reine Existenz einer solchen Abbildung ist ein nichttriviales Ergebnis.