Einfache Homöomorphien

 Ist A abzählbar unendlich, so ist ℕA homöomorph zu 𝒩: Ist π : A → ℕ bijektiv, so wird ein Homöomorphismus H : ℕA → 𝒩 definiert durch H(f)(n) = π(f (n)) für alle f  ∈  ℕA und n  ∈  ℕ. Wir könnten uns also im Wesentlichen immer auf 𝒩 zurückziehen. Für manche Überlegungen ist aber etwa ℕℤ angenehmer, und es ist dann nützlich, die allgemeine Notation zur Verfügung zu haben.

 Weitere grundlegende Homöomorphieüberlegungen für die Folgenräume behandelt der folgende Satz. Er rechtfertigt die Konzentration der Theorie auf die beiden Spezialfälle 𝒩 und 𝒞.

Satz

(i)

ℕ𝒩, versehen mit der Produkttopologie, ist homöomorph zu 𝒩, und ebenso ist ℕ𝒞 mit der Produkttopologie homöomorph zu 𝒞.

(ii)

Sei T ⊆ Seq ein endlich verzweigter perfekter Baum.

Dann ist [ T ], versehen mit der Relativtopologie von 𝒩, homöomorph zu 𝒞.

(iii)

Sei A eine endliche Menge mit mindestens zwei Elementen.

Dann sind ℕA und 𝒞 homöomorph.

Insbesondere sind alle 𝒞n für n ≥ 2 homöomorph.

Beweis

zu (i):

Sei π : ℕ2 → ℕ die Cantorsche Paarungsfunktion.

Wir definieren eine Funktion H : ℕ𝒩 → 𝒩 durch

H(g)(n)  =  g(n0)(n1)  für alle n  ∈  ℕ, g  ∈  ℕ𝒩, wobei (n0, n1) = π−1(n).

Dann ist H ein Homöomorphismus.

Weiter zeigt H|ℕ𝒞 : ℕ𝒞 → 𝒞 die Homöomorphie von ℕ𝒞 und 𝒞.

zu (ii):

reellezahlen-AbbID27

Wir begnügen uns mit dem Hinweis auf das Diagramm rechts, das eine Umformung einer endlichen Verzweigung in eine binäre Verzweigung zeigt.

zu (iii):

Die Aussage ist ein Spezialfall von (ii).

 Eine weitere hübsche Homöomorphieüberlegung ist:

Übung

Sei A = { f  ∈  𝒩 | f ist gleich Null schließlich }.

Dann ist 𝒩 − A homöomorph zu 𝒩.

 Im nächsten Kapitel zeigen wir einen Charakterisierungssatz von 𝒩, der dieses Resultat als einfaches Korollar liefert. Einen einfachen und konkreten Homöomorphismus zwischen 𝒩 und 𝒩 − A vor Augen zu haben bietet aber nicht nur ein gewisses Ahaerlebnis, sondern ist auch für spätere konkrete Konstruktionen vorbildlich.

 Eine die reellen Zahlen betreffende Beobachtung ist:

Satz (Homöomorphie von 𝒩 und den irrationalen Zahlen)

Sei ℐ = { x  ∈  ℝ | x ist irrational }, und sei ℐ1 = ℐ  ∩  ] 0, 1 [.

Dann sind ℐ, ℐ1 und 𝒩 homöomorph.

Beweis

Kettenbruchentwicklung zeigt die Homöomorphie von 𝒩 und ℐ ∩ ] 1, ∞ [ (wir diskutieren dies unten in „𝒩 versus ℝ“ genauer und erhalten die Homöomorphie dort auch ohne Verwendung von Kettenbrüchen).

Anwendung der Funktion 1/x liefert die Homöomorphie von 𝒩 und ℐ1.

Dann ist aber ℐ = ⋃z  ∈  ℤ (ℐ1 + z) homöomorph zu

𝒩′  =  { f  ∈  ℕℤ  |  f (n)  ∈  ℕ für alle n ≥ 1 }.

Aber 𝒩′ ist homöomorph zu 𝒩 (via H(f (0)) = π(f (0)) und H(f (n)) = f (n) für n ≥ 1, wobei π : ℤ → ℕ bijektiv).