Perfekte polnische Räume

Zunächst zeigen wir:

Satz (Mächtigkeit der perfekten Mengen)

Sei P ⊆ 𝒩 perfekt und nichtleer. Dann gilt |P| = 2^ω.

Beweis

Wir konstruieren ein injektives h : 𝒞 → P. Dann gilt

2^ω = |𝒞| ≤ |P| ≤ |𝒩| = ω^ω = 2^ω,

also |P| = 2^ω.

Wir definieren hierzu durch Rekursion über s  ∈  Seq₂ t(s)  ∈  T_P durch:

t(〈   〉)	= 〈   〉,
t(s0)	= t₁, t(s1) = t₂,

wobei t₁, t₂  ∈  T_P inkompatible Fortsetzungen von t(s) sind; solche Fortsetzungen existieren, da T_P ein perfekter Baum ist.

Sei T = { t | t ≤ t(s) für ein s  ∈  Seq₂ }.

Für f  ∈  𝒞 sei

h(f) = ⋃_{n  ∈  ℕ} t(f|n).

Dann ist h : 𝒞 → [ T ] bijektiv und [ T ] ⊆ [ T_P ] = P.

Für das Kontinuum ℝ erhalten wir:

Korollar

Jede nichtleere perfekte Teilmenge von ℝ hat die Mächtigkeit von ℝ.

Beweis

𝒩 ist homöomorph zu ℝ − ℚ. Ist P ⊆ ℝ perfekt, so ist P − ℚ perfekt in der Relativtopologie des Raumes ℝ − ℚ, den wir mit 𝒩 identifizieren können.

Damit ist |P − ℚ| = 2^ω, also auch |P| = 2^ω.

Die Projektion von Seq₂ in einen perfekten Baum T im Beweis oben ist besonders anschaulich und klar. Wir können immer darauf warten, dass sich der Baum T_P oberhalb eines Knotens s in mindestens zwei Äste aufteilt, und dies liefert dann eine einfache Injektion von 𝒞 in den Körper von T_P. Wir haben unendlich oft die Wahl zwischen mindestens zwei Möglichkeiten und damit mindestens 2^ω viele Pfade.

Allgemeiner gilt nun der folgende Satz:

Satz (Mächtigkeit perfekter Teilmengen polnischer Räume, Kopien von 𝒞)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nichtleerer perfekter polnischer Raum.

Dann gilt |X| = 2^ω.

Genauer gilt: 𝒳 enthält eine Kopie von 𝒞, d. h. es gibt ein C ⊆ X, das unter der Relativtopologie von 𝒳 homöomorph zu 𝒞 ist.

C ist dann perfekt in X.

Beweis

Wegen 𝒳 separabel gilt |𝒰| ≤ 2^ω. Aber für alle x  ∈  X ist X − { x }  ∈  𝒰, und damit ist auch |X| ≤ 2^ω.

Wir wollen nun 𝒞 in 𝒳 einbetten. Wir beobachten hierzu:

(+)	Sei Y ⊆ X offen und nichtleer, und sei ε > 0. Dann existieren offene und disjunkte Y₀, Y₁ ≠ ∅ mit diam(Y_i) < ε und cl(Y₀) ∪ cl(Y₁) ⊆ Y.

Beweis von (+)

Wegen der Perfektheit von X existieren x₀, x₁  ∈  Y mit x₀ ≠ x₁.

Umgebungen Y₀ und Y₁ von x₀ bzw. x₁ mit hinreichend kleinem Durchmesser sind dann wie gewünscht.

Wir können also rekursiv Mengen C_s ⊆ X für s  ∈  Seq₂ definieren, sodass für alle s  ∈  Seq₂ gilt:

(α)	C_{〈   〉} = X,

(β)	C_s ist offen und nichtleer,

(γ)	cl(C_si) ⊆ C_s für i = 0, 1,

(δ)	C_s0 ∩ C_s1 = ∅,

(ε)	diam(C_s) < 1/2^\|s\|.

Für alle f  ∈  𝒞 ist dann ⋂_{n  ∈  ℕ} C_f|n = ⋂_{n  ∈  ℕ} cl(C_f|n) einelementig.

Wir definieren nun h : 𝒞 → X durch:

h(f) = „das eindeutige x  ∈  X mit x  ∈  ⋂_{n  ∈  ℕ} C_f|n“.

Dann ist h  : 𝒞 → C mit C = rng(h) ⊆ X ein Homöomorphismus.

Zum Zusatz: C hat keine isolierten Punkte in X (diese wären isoliert in C), und zudem ist C kompakt in X, insbesondere abgeschlossen in X.

Kompaktheit ist hier wesentlich: Eine perfekte Teilmenge P von X ist als polnischer Raum perfekt, aber nicht jeder polnische Teilraum von X, der als Raum perfekt ist, ist eine perfekte Teilmenge von X, man denke etwa wieder an ] 0, 1 [ ⊆ ℝ.

Der Satz beinhaltet obiges Korollar über die Mächtigkeit nichtleerer perfekter Teilmengen von ℝ.

Explizit halten wir fest:

Korollar (Existenzsatz für isolierte Punkte)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nichtleerer abzählbarer polnischer Raum.

Dann existiert ein isolierter Punkt von X.

Insbesondere besitzt jede abgeschlossene abzählbare nichtleere Teilmenge P von 𝒩, ℝ, … einen isolierten Punkt. Das Gleiche gilt für abzählbare P, die ein Schnitt von abzählbar vielen offenen Mengen sind. Insbesondere ist ℚ kein solcher Schnitt.