Zerlegungen nulldimensionaler polnischer Räume

𝒞 und 𝒩 sind nulldimensionale perfekte polnische Räume mit völlig konträren Kompaktheitseigenschaften. 𝒞 ist kompakt, während in 𝒩 jede kompakte Umgebung eines Punktes ein leeres Inneres hat. Diese Eigenschaften charakterisieren nun die beiden Folgenräume bereits bis auf Homöomorphie, wie wir nun zeigen wollen. Dabei fällt insbesondere eine Charakterisierung aller nulldimensionalen polnischen Räume mit ab.

Die für Folgenräume in ungewohnter Häufung auftretenden offenen und zugleich abgeschlossenen Mengen erweisen sich bei den folgenden Konstruktionen aufgrund ihrer Stabilitätseigenschaften als unerwartet sympathisch und flexibel. Ist 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein topologischer Raum und ist 𝒜 = { Y ⊆ X | Y ist offen und abgeschlossen }, so ist 𝒜 eine Mengenalgebra: Es gilt ∅, X  ∈  𝒜, und 𝒜 ist abgeschlossen unter Komplementen in X, endlichen Schnitten und endlichen Vereinigungen, und damit insbesondere auch unter Differenzenbildung. Eine Konsequenz für nulldimensionale polnische Räume ist:

Satz (Basislemma über Zerlegungen in nulldimensionalen polnischen Räumen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nulldimensionaler polnischer Raum.

Sei weiter Y ⊆ X offen und abgeschlossen, Y ≠ ∅, und sei ε > 0.

Dann existieren ein k ≤ ω und paarweise disjunkte offene und abgeschlossene nichtleere Mengen Y_n, n ≤ k, mit:

(i)	diam(Y_n) < ε für alle 0 ≤ n ≤ k,

(ii)	⋃_{n ≤ k} Y_n = Y.

Beweis

Wegen 𝒳 nulldimensional existiert eine Überdeckung 〈 Z_n | n  ∈  ℕ 〉 von Y mit nichtleeren offenen und abgeschlossenen Mengen mit Durchmesser < ε.

Für n  ∈  ℕ setzen wir

Y_n′ = Y ∩ (Z_n − ⋃_{0 ≤ i < n} Z_i).

Dann ist Y_n′ offen und abgeschlossen, da Y und alle Z_n dies sind.

Sei 〈 Y_n | n ≤ k 〉, k ≤ ω, eine Aufzählung der nichtleeren Y_n′.

Dann sind die Y_n, n ≤ k, wie gewünscht.

Die Grundtechnik im Folgenden ist die iterierte Zerlegung eines polnischen Raumes 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉. Wir zerlegen X in endlich oder abzählbar unendlich viele Teile C₀, C₁, …, wiederholen das Verfahren mit allen C_i, usw. Dabei entsteht ein mit Teilmengen von X bestückter Baum T ⊆ Seq. Im Verlauf der rekursiven Zerlegung konstruieren wir Mengen mit beliebig kleinem Durchmesser. Wir nehmen immer stillschweigend an, dass eine die Topologie erzeugende vollständige Metrik d gegeben ist mit d(x, y) ≤ 1 für alle x, y  ∈  X. Dann ist diam(X) ≤ 1, und wir können so etwa wieder diam(C_s) ≤ 1/2^|s| für alle s  ∈  T erreichen.

Wir wenden nun diese Zerlegungstechnik zuerst auf beliebige nulldimensionale polnische Räume an, und erhalten dann leicht die Charakterisierungssätze für 𝒩 und 𝒞.

Satz (Charakterisierung der nulldimensionalen polnischen Räume)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nulldimensionaler polnischer Raum.

Dann ist 𝒳 homöomorph zu einer abgeschlossenen Menge A ⊆ 𝒩.

Beweis

Die Aussage ist trivial für X = ∅. Sei also X ≠ ∅.

Mit Hilfe des Basislemmas können wir rekursiv Mengen C_s ⊆ X, s  ∈  T, für einen gewissen bei der Konstruktion entstehenden blattfreien Baum T ⊆ Seq definieren, sodass für alle s  ∈  T gilt:

(α)	T = { s  ∈  Seq \| C_s ist definiert },

(β)	C_{〈   〉} = X,

(γ)	C_s = ⋃_{t  ∈  suc(s)} C_t,

(δ)	C_si ∩ C_sj = ∅ für alle i < j mit si, sj  ∈  T,

(ε)	C_s ist nichtleer und zugleich offen und abgeschlossen,

(ζ)	diam(C_s) < 1/2^\|s\|.

Wir definieren dann h : [ T ] → X durch:

h(f) = „das eindeutige x  ∈  X mit x  ∈  ⋂_{n  ∈  ℕ} C_f|n“.

Nach Konstruktion von 〈 C_s | s  ∈  T 〉 ist h ein Homöomorphismus (!).

Also ist 𝒳 homöomorph zur abgeschlossenen Menge A = [ T ] ⊆ 𝒩.

Übung

Im Beweis des Satzes gilt: Für alle s  ∈  T ist h″(N_s ∩ [ T ]) = C_s.

Die Mengen C_s, s  ∈  T, bilden eine Basis der Topologie 𝒰 auf X.

Aus dem Satz erhalten wir das folgende gar nicht so selbstverständliche Korollar:

Korollar (Homöomorphie offener Schnitte in 𝒩 mit abgeschlossenen Mengen)

Seien U_n ⊆ 𝒩 offen für n  ∈  ℕ, und sei Y = ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n.

Dann existiert ein abgeschlossenes A ⊆ 𝒩 mit:

Y und A sind homöomorph (versehen mit den Relativtopologien von 𝒩).

Beweis

Y ist als Schnitt von abzählbar vielen offenen Mengen ein polnischer Raum.

Als Teilraum von 𝒩 ist Y zudem nulldimensional.

In der rekursiven Konstruktion des Beweises haben wir keine Information darüber, ob T an einer Stelle s  ∈  T endlich oder unendlich verzweigt ist. Stellen wir zusätzliche Bedingungen an den Raum 𝒳, so können wir den Verzweigungsgrad von T an jeder Stelle kontrollieren und damit T und [ T ] besser beschreiben. Dies ist das Thema der beiden folgenden Sätze.

Satz (topologische Charakterisierung des Cantorraumes)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nichtleerer polnischer Raum. Es gelte:

(i)	𝒳 ist perfekt.

(ii)	𝒳 ist kompakt.

(iii)

𝒳 ist nulldimensional.

Dann ist 𝒳 homöomorph zu 𝒞.

Wir benutzen im Beweis das Ergebnis aus Kapitel 1: Ist T ein nichtleerer, perfekter und endlich verzweigter Baum auf ℕ, so ist [ T ] homöomorph zu 𝒞. Man kann den Beweis dieser Homöomorphie in den folgenden Beweis des Charakterisierungssatzes mit einbauen und so diesen Rückgriff vermeiden. Die natürlich entstehende Struktur des folgenden Beweises ist aber ein endlich verzweigter perfekter Baum T ⊆ Seq, und nicht ein T ⊆ Seq₂.

Beweis

Wir definieren rekursiv Mengen C_s ⊆ X, s  ∈  T, für einen gewissen, bei der Konstruktion entstehenden endlich verzweigten Baum T ⊆ Seq, sodass für alle s  ∈  T gilt:

(α)	T = { s  ∈  Seq \| C_s ist definiert },

(β)	C_{〈   〉} = X,

(γ)	C_s = ⋃_{t  ∈  suc(s)} C_t,

(δ)	C_si ∩ C_sj = ∅ für alle i < j mit si, sj  ∈  T,

(ε)	C_s ist nichtleer und zugleich offen und abgeschlossen,

(ζ)	diam(C_s) < 1/2^\|s\|.

Die Kompaktheit aller C_s garantiert, dass T endlich verzweigt ist.

Wegen 𝒳 perfekt und (ζ) ist T ein perfekter Baum. (Wir können auch direkt |suc_T(s)| ≥ 2 für alle s  ∈  T fordern, wenn wir möchten.)

Wir definieren wieder einen Homöomorphismus h : [ T ] → X durch:

h(f) = „das eindeutige x  ∈  X mit x  ∈  ⋂_{n  ∈  ℕ} C_f|n“.

Aber T ⊆ Seq ist ein endlich verzweigter perfekter Baum.

Also ist [ T ], und damit 𝒳, homöomorph zum Cantorraum 𝒞.

Ist 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 kompakt, aber nicht mehr notwendig perfekt, so können gewisse C_s nur noch einen einzigen Punkt enthalten, und der Baum T ist dann nicht mehr notwendig perfekt. Genauer gilt: Für jeden isolierten Punkt x von X existiert ein s  ∈  T, sodass für alle t  ∈  T mit s ≤ t gilt: C_t = { x }, |suc_T(t)| = 1.

Ist nun andererseits kein C_s der Konstruktion kompakt, so ist eine Zerlegung in jeweils unendlich viele Mengen möglich, und dies führt zum folgenden Charakterisierungssatz für 𝒩.

Satz (topologische Charakterisierung des Baireraumes)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nichtleerer polnischer Raum mit:

(i)	Es gibt keine offene nichtleere kompakte Menge.

(ii)	𝒳 ist nulldimensional.

Dann ist 𝒳 homöomorph zu 𝒩.

Die Bedingung (i) ist für nulldimensionale polnische Räume äquivalent zu den beiden folgenden Aussagen:

(i)′	Ist K ⊆ X kompakt, so ist int(K) = ∅.
(i)″	cl(U) ist nicht kompakt für alle offenen U ≠ ∅.

Polnische Räume 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 mit (i) sind automatisch perfekt, denn { x } ist kompakt und offen in X für alle isolierten Punkte x  ∈  X. Die beiden Charakterisierungssätze für 𝒞 und 𝒩 unterscheiden sich also nur durch den Austausch von der ganze Raum ist kompakt durch es gibt keine gehaltvollen kompakten Teilmengen, mit (i), (i)′ oder (i)″ als Präzisierung der zweiten Bedingung.

Beweis

Die Bedingung (i) führt zu folgender Verstärkung des Basislemmas:

(+)	Sei Y ⊆ X offen und abgeschlossen, Y ≠ ∅, und sei ε > 0. Dann existieren paarweise disjunkte offene und abgeschlossene nichtleere Mengen Y_n für n  ∈  ℕ mit:
	diam(Y_n) < ε für alle n  ∈  ℕ und ⋃_{n  ∈  ℕ} Y_n = Y.

Beweis von (+)

Y ist nichtleer und offen, also nach Voraussetzung nicht kompakt.

Sei also 〈 U_i | i  ∈  ℕ 〉 eine offene Überdeckung von Y, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wir können jedes U_i schreiben als die Vereinigung von offenen und zugleich abgeschlossenen Mengen Aⁱ_j, j  ∈  ℕ, mit diam(Aⁱ_j) < ε für alle j  ∈  ℕ (da 𝒳 nulldimensional).

Sei nun 〈 Z_n | n  ∈  ℕ 〉 eine Aufzählung aller Aⁱ_j, i, j  ∈  ℕ.

Dann ist 〈 Z_n | n  ∈  ℕ 〉 eine Überdeckung von Y mit offenen und abgeschlossenen Mengen ohne endliche Teilüberdeckung.

Für n  ∈  ℕ sei wieder Y_n′ = Y ∩ (Z_n − ⋃_{0 ≤ i < n} Z_i).

Die Aufzählung aller nichtleeren Y_n′ ist dann unendlich, und eine Folge wie gewünscht.

zweiter Beweis von (+)

Ein vollständiger metrischer Raum K ist genau dann kompakt, wenn K total beschränkt ist, d. h. wenn für alle δ > 0 eine endliche Überdeckung von K mit offenen Mengen mit Durchmesser < δ existiert.

Y ist als vollständiger metrischer Raum nach (i) nicht kompakt, also nicht total beschränkt. Also existiert ein δ < ε derart, dass keine Überdeckung von Y mit offenen Mengen mit Durchmesser kleiner δ endlich ist.

Sei also 〈 Z_n | n  ∈  ℕ 〉 eine Überdeckung von Y mit abgeschlossenen und zugleich offenen Mengen Z_n mit diam(Z_n) < δ für alle n  ∈  ℕ. Dann erhalten wir wie üblich eine unendliche Folge von Y_n wie gewünscht.

Wir können mit Hilfe von (+) rekursiv Mengen C_s ⊆ X für s  ∈  Seq definieren, sodass für alle s  ∈  Seq gilt:

(α)	C_{〈   〉} = X,

(β)	C_s = ⋃_{n  ∈  ℕ} C_sn,

(γ)	C_si ∩ C_sj = ∅ für alle i, j  ∈  ℕ mit i ≠ j,

(δ)	C_s ist nichtleer und zugleich offen und abgeschlossen,

(ε)	diam(C_s) < 1/2^\|s\|.

Wir erhalten wie gewohnt einen Homöomorphismus h : 𝒩 → X durch:

h(f) = „das eindeutige x  ∈  X mit x  ∈  ⋂_{n  ∈  ℕ} C_f|n“.

Die Beweise der Charakterisierungssätze zeigen: Ist 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nichtleerer polnischer Raum, und kann jede offene und abgeschlossene Teilmenge von X in je endlich viele (bzw. je unendlich viele) offene und abgeschlossene Mengen mit beliebig kleinem Durchmesser zerlegt werden, so ist 𝒳 homöomorph zu 𝒞 (bzw. 𝒩). Die iterierten Zerlegungen bilden dann einen mit Teilmengen von X bestückten endlich verzweigten perfekten Baum T (bzw. den Baum Seq), deren Körper [ T ] (bzw. 𝒩) zu 𝒳 homöomorph ist.

Haben wir nur „nulldimensional“ als Voraussetzung, so wissen wir nicht, ob unsere Zerlegungen von C_s endlich oder unendlich sind. In der Tat sind dann beliebige Mischformen möglich und jeder blattfreie nichtleere Baum T ⊆ Seq kann in einer Konstruktion wie in den Beweisen oben auftreten. Denn jeder solche Baum T liefert einen nulldimensionalen Raum [ T ], und 〈 C_s | s  ∈  T 〉 mit C_s = N_s ∩ [ T ] für s  ∈  T ist dann eine Zerlegungsfolge wie in den obigen Konstruktionen (unter einer geeigneten Metrik auf [ T ]). suc_T(〈   〉) kann dann endlich sein, suc_T(〈  0  〉) unendlich, suc_T(〈 0, 0 〉) wieder endlich, usw.

Die nichtleeren nulldimensionalen polnischen Räume entsprechen in diesem Sinne genau den blattfreien Bäumen T ⊆ Seq. Wir setzen für zwei solche Bäume T₁ und T₂:

T₁ ∼ T₂ falls [ T₁ ] und [ T₂ ] sind homöomorph.

Dann bilden die endlich verzweigten perfekten Bäume die Äquivalenzklasse von Seq₂. Die Äquivalenzklasse von Seq besteht dagegen aus denjenigen Bäumen, die sich immer wieder unendlich verzweigen:

Übung

Es gilt Seq/∼ = { T ⊆ Seq | T ist ein nichtleerer Baum mit:

für alle s  ∈  T existiert ein t  ∈  T mit s ≤ t und suc_T(t) unendlich }.

Die Wege von Seq₂/∼ zu Seq/∼ führen über Klassen von perfekten Bäumen, die sich manchmal endlich, manchmal unendlich verzweigen. Je mehr unendliche Verzweigungen in T erscheinen, desto spärlicher sind die kompakten Mengen des zugehörigen Folgenraumes [ T ].

Eine Anwendung des Charakterisierungssatzes für 𝒩 zeigt:

Übung

Für alle abzählbaren dichten Q ⊆ ℝ ist ℝ − Q polnisch unter der Relativtopologie von ℝ und homöomorph zu 𝒩.

Damit erhalten wir noch einmal das Ergebnis, dass 𝒩 und die irrationalen Zahlen homöomorph sind.

Dagegen führt für die Dimension n ≥ 2 nicht jedes Streichen einer abzählbaren dichten Teilmenge des ℝⁿ zu einem nulldimensionalen Raum:

Übung

A = (ℝ − ℚ)² ∪ ℚ² ist unter der Relativtopologie von ℝ² zusammenhängend.

[ Alle Geraden G im ℝ² durch ein q  ∈  ℚ² mit rationalem Anstieg (d. h. G ∩ ℚ² ist unendlich) sind Teilmengen von A und bilden einen zusammenhängenden dichten Unterraum von ℝ². Dies genügt. ]

In Kontrast hierzu gilt aber zum Beispiel:

Übung

Für q  ∈  ℚ² und ε  ∈  ℚ⁺ sei K_{q, ε} = { x  ∈  ℝ² | d(x, q) = ε }.

Weiter sei M = ⋃_{q  ∈  ℚ², ε  ∈  ℚ⁺} K_{q, ε}. Dann ist ℝ² − M polnisch unter der Relativtopologie von ℝ² und homöomorph zu 𝒩.

[ Der Beweis von ℝ² − M ≠ ∅ ist nicht völlig trivial. M ist aber mager (siehe Kapitel 3) und damit ist ℝ² − M sogar komager und damit sicher nicht leer. ]

Als eine weitere Anwendung des Charakterisierungssatzes des Baireraumes zeigen wir:

Satz (Dekompaktifizierungssatz für 𝒩)

Sei T ⊆ Seq ein perfekter nichtleerer Baum, und sei A ⊆ [ T ] abzählbar und dicht in [ T ]. Dann ist [ T ] − A homöomorph zu 𝒩.

Beweis

X = [ T ] − A ist nichtleer wegen |[ T ]| = 2^ω und A abzählbar.

Weiter ist X polnisch wegen [ T ] abgeschlossen und A abzählbar.

Als Teilraum von 𝒩 ist X zudem nulldimensional.

Sei s  ∈  T. Wir zeigen, dass N_s ∩ X nicht kompakt in X ist. Dies genügt.

Wegen A dicht in [ T ] existiert ein g  ∈  A ∩ N_s ∩ [ T ].

Wir setzen für n  ∈  ℕ:

U_n = N_g|n ∩ X,

D_n = U_n − U_n + 1.

Dann sind alle U_n offen und abgeschlossen in X mit ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n = { g }.

Wegen g  ∉  X ist dann { D_n | n  ∈  ℕ } eine offene Überdeckung von N_s ∩ X in X ohne endliche Teilüberdeckung (die D_n sind paarweise disjunkt und unendlich viele D_n sind nichtleer, da g Häufungspunkt von X in [ T ]).

Als Korollar erhalten wir für T = Seq₂ und [ T ] = 𝒞 einen neuen Beweis für die Homöomorphie von 𝒞 − A und 𝒩, mit A = { f  ∈  𝒞 | f (n) = 1 schließlich } oder auch A = { f  ∈  𝒞 | f ist schließlich konstant } (vgl. die Funktionen ψ₁ und ψ₂ im letzten Kapitel).

Eine allgemeine Version des Satzes ist:

Satz (allgemeiner Dekompaktifizierungssatz)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nichtleerer polnischer Raum, und sei Y ⊆ X ein abzählbarer Schnitt offener Teilmengen von X. Sei A = X − Y. Es gelte:

(a)	Y und A sind dicht in X,

(b)	Y ist nulldimensional.

Dann ist Y unter der Relativtopologie von X homöomorph zu 𝒩.

Beweis

Y ist nach (a) und (b) ein nichtleerer nulldimensionaler polnischer Raum.

Sei U ⊆ Y nichtleer und offen in Y.

Wir zeigen, dass U nicht kompakt in Y ist.

Sei hierzu V₀  ∈  𝒰 mit:

U = V₀ ∩ Y = V₀ − A.

Da A dicht in X ist, existiert ein x  ∈  A ∩ V₀.

Wegen Y dicht in X existieren V_n  ∈  𝒰 für n ≥ 1 mit:

(i)	V₀ ⊃ V₁ ⊃ … ⊃ V_n ⊃ …,

(ii)	x  ∈  V_n für alle n  ∈  ℕ,

(iii)

lim_n → ∞ diam(V_n) = 0,

(iv)	(V_n − cl(V_n + 1)) ∩ Y ≠ ∅.

Dann gilt ⋂_{n  ∈  ℕ} V_n = { x }. Für n  ∈  ℕ sei

U_n ⊆ (V_n − cl(V_n + 1)) ∩ Y

nichtleer und zugleich offen und abgeschlossen in Y. (Derartige U_n existieren wegen Y nulldimensional und (iv).)

Nach Konstruktion und wegen x  ∉  Y ist B = ⋃_{n  ∈  ℕ} U_n abgeschlossen in Y.

Dann ist aber

{ U − B } ∪ { U_n | n  ∈  ℕ }

eine offene Überdeckung von U in Y ohne endliche Teilüberdeckung.

Also ist U nicht kompakt in Y.

Nach dem Charakterisierungssatz für 𝒩 ist also Y homöomorph zu 𝒩.