Ortung durch den Hilbert-Würfel

Ein anderer Ansatz der Analyse polnischer Räume bringt ein neues Objekt ins Spiel, den sog. Hilbert-Würfel. Der Ansatz beruht auf folgender Beobachtung: Eine die Topologie erzeugende vollständige Metrik d : X² → [ 0, 1 ] und eine abzählbare dichte Teilmenge z₀, z₁, …, z_k, … von X verbinden beliebige polnische Räume 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 mit den reellen Zahlen − genauer: mit einer Folge im reellen Einheitsintervall. Wir setzen hierzu für x  ∈  X:

w(x) = 〈 d(x, z_k) | k  ∈  ℕ 〉.

Die Funktion w beschreibt die Lage von x  ∈  X relativ der Aufzählung einer abzählbaren dichten Teilmenge, und versucht so, die Topologie des Raumes 𝒳 durch Folgen im Einheitsintervall zu beschreiben. Wir nennen w : X → ^ℕ[ 0, 1 ] die Ortungsfunktion für 𝒳 bzgl. 〈 z_k | k  ∈  ℕ 〉 (und bzgl. der Metrik d).

Stellt man sich die z_k als die Positionen von Satelliten vor, die den Abstand zu Objekten x  ∈  X messen können, so ist w(x) die vollständige den Satelliten mögliche Ortung eines Objekts x. In vielen Fällen ist die Ortung mit dicht im Raum verteilten Satelliten reichlich überdimensioniert: Im ℝ² genügen etwa drei Satelliten an drei linear unabhängigen Positionen z₀, z₁, z₂; denn kennt man für einen Punkt x der Ebene d(x, z₀), d(x, z₁) und d(x, z₂), so ist x bereits eindeutig bestimmt. Für einen abzählbaren Raum unter der diskreten Metrik braucht man dagegen einen „Satelliten“ an jedem Punkt des Raumes.

Es wird sich zeigen, dass die Beschreibung von X durch eine Ortungsfunktion vollständig ist, wobei wir nicht erwarten können, dass jede Folge im Einheitsintervall als mögliche Position eines x  ∈  X vorkommt.

Wir definieren, die Stetigkeit einer Ortung w im Auge:

Definition (Hilbert-Würfel)

Der Hilbert-Würfel ℋ ist der Raum ^ℕ[ 0, 1 ], versehen mit der Produkttopologie der üblichen Topologie auf dem reellen Einheitsintervall.

Als abzählbarer Produktraum eines polnischen Raumes ist der Hilbert-Würfel ein polnischer Raum. Die Mengen I₀ × … × I_k × [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] × …, mit offenen Intervallen I_i ⊆ [ 0, 1 ] für 0 ≤ i ≤ k, k  ∈  ℕ, bilden eine Basis von ℋ. Nach dem Satz von Tychonov ist ℋ kompakt, da [ 0, 1 ] kompakt ist.

Satz (über Ortungsfunktionen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein polnischer Raum, und sei 〈 z_k | k  ∈  ℕ 〉 dicht in X.

Sei weiter d eine erzeugende vollständige Metrik für 𝒳.

Dann gilt für die Ortungsfunktion w bzgl. 〈 z_k | k  ∈  ℕ 〉 und d:

(i)	w : X → ℋ ist stetig und injektiv.

(ii)	w⁻¹ : rng(w) → X ist stetig.

(iii)

Es gibt offene U_n ⊆ ^ℕ[ 0, 1 ] für n  ∈  ℕ, mit

rng(w) = ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n.

Beweis

zu (i): Ist klar.

zu (ii): Seien x  ∈  X und 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 eine Folge in X mit

w(x) = lim_n → ∞ w(x_n).

Wir zeigen, dass lim_n → ∞ x_n = x. Sei hierzu ε > 0.

Wegen 〈 z_k | k  ∈  ℕ 〉 dicht in X existiert ein k mit d(x, z_k) < ε/2.

Wegen lim_n → ∞ w(x_n) = w(x) ist insbesondere

lim_n → ∞ d(x_n, z_k) = lim_n → ∞ w(x_n)(k) = w(x)(k) = d(x, z_k) < ε/2.

Also existiert ein n₀  ∈  ℕ derart, dass x_n in der ε/2-Umgebung von z_k liegt für alle n ≥ n₀. Auch x ist in dieser Umgebung, und damit gilt

d(x_n, x) < ε für alle n ≥ n₀.

Dies zeigt lim_n → ∞ x_n = x.

zu (iii): Für x  ∈  X und n  ∈  ℕ sei

k(x, n) = „das kleinste k mit d(x, z_k) < 1/2ⁿ “.

Wir setzen für n  ∈  ℕ:

U_n = { g  ∈  ^ℕ[ 0, 1 ] \|	es existiert ein x  ∈  X mit:
	\|w(x)(i) − g(i)\| < 1/2ⁿ für alle i ≤ max(k(x, n), n) }.

Dann sind alle U_n offen und es gilt rng(w) ⊆ ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n.

Wir zeigen, dass auch rng(w) ⊇ ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n. Sei also g  ∈  U_n für alle n  ∈  ℕ.

Für n  ∈  ℕ sei x_n wie in der Definition von U_n für g. Es genügt zu zeigen:

(+) 〈 x_n | n  ∈  ℕ 〉 ist eine Cauchy-Folge in X.

Denn ist dann x = lim_n → ∞ x_n, so gilt offenbar w(x) = g.

Beweis von (+)

Annahme nicht. Sei also ε > 0 derart, dass für alle n₀  ∈  ℕ n, m ≥ n₀ existieren mit d(x_n, x_m) > ε. Sei n₀  ∈  ℕ mit 1/2^n₀ ≤ ε/4, und seien n, m ≥ n₀ mit d(x_n, x_m) > ε.

Sei o. E. k(x_m, m) ≤ k(x_n, n), und sei k = k(x_m, m).

Dann gilt nach Definition von k(x_m, m):

(1) d(x_m, z_k) < 1/2^m ≤ 1/2^n₀ ≤ ε/4.

Wegen x_m  ∈  U_m gilt:

(2) |d(x_m, z_k) − g(k)| < 1/2^m ≤ ε/4.

Wegen x_n  ∈  U_n und k ≤ k(x_n, n) gilt aber auch:

(3) |d(x_n, z_k) − g(k)| < 1/2ⁿ ≤ ε/4.

Also ist |d(x_n, z_k) − d(x_m, z_k)| < ε/2 nach (2) und (3).

Mit (1) ist dann aber

d(x_n, x_m) ≤ d(x_m, z_k) + d(x_n, z_k) ≤ d(x_m, z_k) + d(x_m, z_k) + ε/2 ≤ ε.

Widerspruch.

Also ist jede Ortungsfunktion w  : X → ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n ⊆ ^ℕ[ 0, 1 ] ein Homöomorphismus, und wir erhalten:

Korollar (polnische Räume als Teilräume des Hilbert-Würfels)

Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abzählbaren Schnitte von offenen Mengen im Hilbert-Würfel.

Weiter sind die kompakten polnischen Räume bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen in ^ℕ[ 0, 1 ].

Der Zusatz folgt, da die Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen wieder kompakt sind.

Für kompakte Räume 𝒳 ist also die im Beweis von (iii) konstruierte Menge ⋂_{n  ∈  ℕ} U_n automatisch abgeschlossen. Umgekehrt kann wegen der Kompaktheit des Hilbert-Würfels dieser Schnitt nicht abgeschlossen sein, wenn 𝒳 nicht kompakt ist. Wir erreichen aber Abgeschlossenheit, wenn wir vom Hilbert-Würfel ^ℕ[ 0, 1 ] zum sog. Frechet-Raum ^ℕℝ übergehen:

Satz (polnische Räume als abgeschlossene Teilräume von ^ℕℝ)

Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen in ^ℕℝ.

Beweis

Nach dem Korollar genügt es, die Aussage für die abzählbaren Schnitte von offenen Mengen im Hilbert-Würfel zu zeigen.

Seien also U_k offen in ^ℕ[ 0, 1 ] für k  ∈  ℕ, und sei X = ⋂_{k  ∈  ℕ} U_k.

Wir definieren nun h : X → ^ℕℝ durch:

$h (g) (i) = { \begin{matrix} g (k) & falls i = 2k, \\ 1 / d (g,^{ℕ} [0, 1] - U_{k}) & falls i = 2 k + 1. \end{matrix}$

h(g) ist also die Folge g, wobei nach jedem k-ten Glied von g der reziproke Abstand des Gliedes zum Rand von U_k eingefügt wird. Dies erschwert die Konvergenz von Folgen im Bild von h.

Sei Y = rng(h). Dann ist h : X → Y bijektiv und stetig.

Wir zeigen, dass Y abgeschlossen und h⁻¹ : Y → X stetig ist.

Sei hierzu 〈 g_n | n  ∈  ℕ 〉 eine Folge in X, und sei f  ∈  ^ℕℝ mit

f = lim_n → ∞ h(g_n).

Dann konvergiert für alle i  ∈  ℕ die Folge 〈 h(g_n)(i) | n  ∈  ℕ 〉 gegen f (i).

Insbesondere gilt dies für die geraden i und damit ist lim_n → ∞ g_n = g für die Funktion g mit g(i) = f (2i).

Die Konvergenz für die ungeraden i liefert für alle k  ∈  ℕ die Existenz von

lim_n → ∞ 1/d(g, ^ℕ[ 0, 1 ] − U_k).

Also existiert ein ε > 0 mit d(g, ^ℕ[ 0, 1 ] − U_k) > ε für alle k  ∈  ℕ.

Dann ist aber g  ∈  U_k für alle k, also g  ∈  X. Weiter ist h(g) = f.

Wir erhalten aus der Untersuchung über den Hilbert-Würfel auch einen zweiten Beweis dafür, dass kompakte nichtleere polnische Räume stetige Bilder von 𝒞 sind. Wir nutzen entscheidend, dass 𝒞 homöomorph zu seinem eigenen unendlichen Produktraum ^ℕ𝒞 ist:

Korollar (kompakte polnische Räume als stetige Bilder des Cantorraumes)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein nichtleerer kompakter polnischer Raum.

Dann existiert eine stetige Surjektion h : 𝒞 → X.

Beweis

Sei A ⊆ ^ℕ[ 0, 1 ] abgeschlossen und homöomorph zu 𝒳.

Das Fortsetzungslemma liefert ein stetiges surjektives h : ^ℕ[ 0, 1 ] → X.

Sei f  : 𝒞 → ^ℕ𝒞 ein Homöomorphismus. Damit ist

𝒞 →_f ^ℕ𝒞 →_g ^ℕ[ 0, 1 ] →_h X

eine stetige surjektive Verkettung wie gewünscht, wenn g die durch die Abbildung g′ : 𝒞 → [ 0, 1 ] mit

g′(x) = ∑_{n  ∈  ℕ} x(n)/2^(n + 1)

induzierte stetige Surjektion von ^ℕ𝒞 auf ^ℕ[ 0, 1 ] ist.

Definition (Hilbert-Würfel)

Satz (über Ortungsfunktionen)

Beweis

Korollar (polnische Räume als Teilräume des Hilbert-Würfels)

Satz (polnische Räume als abgeschlossene Teilräume von ℕℝ)

Beweis

Korollar (kompakte polnische Räume als stetige Bilder des Cantorraumes)

Beweis

Satz (polnische Räume als abgeschlossene Teilräume von ^ℕℝ)