6. Borelmengen und projektive Mengen
Wir erweitern in diesem Kapitel das Resultat über die Determiniertheit offener und abgeschlossener Mengen: Wir zeigen, dass jede Borel-Menge eines Folgenraumes ℕA über einem beliebigen Alphabet A determiniert ist. Wir beginnen mit einer für sich interessanten und natürlichen Einteilung der Borel-Mengen eines metrisierbaren Raumes in eine Hierarchie der Länge ω1. Weiter diskutieren wir dann noch die sog. projektiven Mengen in polnischen Räumen 𝒳. Diese stellen viel kompliziertere Teilmengen von 𝒳 dar als die Borel-Mengen, ergeben sich aber insgesamt sogar einfacher als die Borelmengen durch die Operationen der Projektion bzw. „stetiges Bild“.
Die Frage der Determiniertheit der projektiven Mengen sprengt die Grenzen der klassischen Mathematik, und ist untrennbar mit großen Kardinalzahlaxiomen verbunden. Schon der Beweis der Borel-Determiniertheit braucht ungewöhnlich komplexe Hilfsobjekte, die iterierte Potenzmengenbildung muss hier notwendig herangezogen werden. Wir gehen am Ende des Buches auf diese fundamentalen Aspekte noch kurz ein.