Inhalt

Vorwort

Einführung

Die Themen des Buches

Vokabular

Mengen und Elemente

Logische Konventionen und Sprechweisen

Zahlen

Relationen

Funktionen

Eine Tabelle

1. Abschnitt Das klassische Kontinuum

1. Irrationale Zahlen

Kommensurable Größen

Der Algorithmus von Euklid

Kettenbrüche

Das regelmäßige Pentagramm

Irrationalität der Quadratwurzel

Überlieferung und Bedeutung der Inkommensurabilität

Andere irrationale Zahlen

Rationale Approximationen

Algebraische und transzendente Zahlen

Intermezzo: Zur Geschichte der Analysis

2. Mächtigkeiten

Mächtigkeiten

Bestimmung einiger Mächtigkeiten

Eine symbolische Arithmetik mit Mächtigkeiten

Das Kontinuumsproblem

Historischer Überblick

3. Charakterisierungen und Konstruktionen

Die Ordnung der rationalen Zahlen

Vollständigkeit und Lücken

Die Ordnung der reellen Zahlen

Eine algebraische Charakterisierung

b-adische und andere Entwicklungen

Zwei klassische Konstruktionen der reellen Zahlen

Eine moderne Konstruktion

Zu den Konstruktionen

Zur Geschichte des Kontinuumsbegriffs

Das komplexe Ergebnis und seine Kritik

Cantors Darstellung von 1872 im Original

4. Euklidische Isometrien

Das Erlanger Programm

Permutationen und Isometrien

Isometrien und lineare Abbildungen

Isometrien in einer Dimension

Isometrien in zwei Dimensionen

Isometrien in drei Dimensionen

Zur Geschichte der Untersuchung Euklidischer Isometrien

Besonderheiten der Isometriegruppen ℐ₁ und ℐ₂

Besonderheiten der Rotationsgruppe SO₃

5. Inhalte und Maße

Das Maßproblem

Maße auf σ-Algebren

Eine Konstruktion des Lebesgue-Maßes

Mengen mit positivem Lebesgue-Maß und Intervalle

Das Lebesgue-Maß für höhere Dimensionen

Das geometrische Lebesgue-Integral

Die analytische Definition des Lebesgue-Integrals

Integrationssätze

Riemann-Integral und Peano-Jordan-Inhalt

Vorläufer und Nachfolger des Peano-Jordan-Inhalts

Eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals

6. Die Grenzen des Messens

Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes

Volle bewegungsinvariante Inhalte

Paradoxe Zerlegungen

Die Paradoxa von Hausdorff und Banach-Tarski

Mittelbare Gruppen

2. Abschnitt Die Folgenräume

1. Einführung in den Baireraum

Endliche Folgen und Folgenräume

Die natürliche Topologie auf den Folgenräumen

Offene und abgeschlossene Mengen im Baireraum

Kodierung offener Mengen

Repräsentation abgeschlossener Mengen durch Bäume

Die kanonische Ordnung auf dem Baireraum

Stetige Funktionen auf dem Baireraum

Einfache Homöomorphien

Kompaktheit

Baireraum, Cantorraum und Kontinuum im Vergleich

2. Topologische Untersuchungen

Polnische Räume

Perfekte polnische Räume

Zerlegungen nulldimensionaler polnischer Räume

Zerlegungen beliebiger polnischer Räume

Stetige bijektive Bilder von 𝒩

Eine konkrete stetige Bijektion von 𝒩 auf 𝒞

Ortung durch den Hilbert-Würfel

Peano-Kurven

Invarianz der Dimension für das Kontinuum

Ein topologischer Dimensionsbegriff

3. Regularitätseigenschaften

Häufungen

Die Scheeffer-Eigenschaft

Die Baire-Eigenschaft

Das Lebesgue-Maß auf dem Cantor- und Baireraum

Universell messbare Mengen

Magere Mengen und Nullmengen

Marczewski-messbare Mengen

Intermezzo: Wohlordnungen und Ordinalzahlen

Wohlordnungen

Induktion und Rekursion über Wohlordnungen

Abzählbare Ordinalzahlen und ω₁

Iterierte Ableitungen

Ein Kompaktheitsbeweis mit ω₁

Die konstruktiblen reellen Zahlen

Beweis des Zornschen Lemmas mit transfiniter Rekursion

4. Irreguläre Mengen

Verletzung der Scheeffer-Eigenschaft und Bernstein-Mengen

Vitali-Mengen

Irreguläre Mengen und die Kontinuumshypothese

Wohlordnungen von polnischen Räumen

5. Unendliche Zweipersonenspiele

Unendliche Spiele

Strategien

Gewinnstrategien und Determiniertheit

Spezielle Aspekte

Einfache Spiele mit ermittelbarem Gewinner

Nichtdeterminierte Mengen

Determiniertheit der offenen und abgeschlossenen Mengen

Regularitätsspiele

Determiniertheit von Punktklassen

6. Borelmengen und projektive Mengen

Die Borel-Hierarchie

Borel-Mengen als stetige Bilder des Baireraumes

Borel-Determiniertheit

Stetige Reduzierbarkeit

Die Suslin-Operation und analytische Mengen

Charakterisierungen und Eigenschaften analytischer Mengen

Regularitätseigenschaften analytischer Mengen

Projektive Mengen

Entfaltete Regularitätsspiele

Determiniertheit und Regularität der projektiven Mengen

Zur geschichtlichen Entwicklung

Anhänge

1. Die axiomatische Grundlage

2. Natürliche, ganze und rationale Zahlen

3. Algebraische Strukturen

Gruppen

Körper und Ringe

Vektorräume

4. Topologische und metrische Räume

Topologische Räume

Metrische Räume

Die Standardtopologie des Kontinuums

5. Rekursive Konstruktion von Maßen

6. Lebensdaten

7. Notationen

8. Personen

9. Index