Vokabular

Mengen und Elemente

 Ist a ein Objekt und b eine Menge, so schreiben wir

a  ∈  b,

falls a ein Element von b ist. Andernfalls schreiben wir a  ∉  b.

 Sind a, b Mengen und ist jedes Element von a auch ein Element von b, so nennen wir a eine Teilmenge von b, und schreiben hierfür

a  ⊆  b.

Weiter schreiben wir a ⊂ b, falls a ⊆ b und a ≠ b gilt, und nennen dann a eine echte Teilmenge von b.

 Wir schreiben „a, b  ∈  c“ für „a  ∈  c und b  ∈  c“. Analog und allgemeiner bedeutet etwa „a₁, …, a_n ⊆ c“, dass a_i ⊆ c für alle 1 ≤ i ≤ n gilt.

 Die leere Menge bezeichnen wir mit ∅. Sie ist Teilmenge jeder Menge, insbesondere gilt ∅ ⊆ ∅.

 Ist b eine Menge, so sei

℘(b)

die Menge aller Teilmengen von b. ℘(b) heißt die Potenzmenge von b. Für jedes Objekt a gilt dann a  ∈  ℘(b) genau dann, wenn a ⊆ b. Dass ℘(b) für alle Mengen b existiert, ist ein eigenes stolzes und starkes Axiom der Mengenlehre, das sog. Potenzmengenaxiom. Es ist für die Existenz der reellen Zahlen wesentlich.

 Die endliche Menge, die genau die Elemente a₁, …, a_n enthält, schreiben wir als { a₁, …, a_n }. Eine Menge a ist von der Einermenge { a } zu unterscheiden. Speziell ist ∅ ≠ { ∅ }. So hat etwa ℘({ ∅ }) wie jede Potenzmenge einer Menge mit n = 1 Elementen 2ⁿ = 2 Elemente, genau gilt ℘({ ∅ }) = { ∅, { ∅ } }.

 Ist ℰ(x) eine Eigenschaft und ist b eine Menge, so sei

{ a  ∈  b | ℰ(a) }

diejenige Teilmenge von b, die genau aus den Elementen a von b besteht, auf die ℰ(x) zutrifft. Wir nennen { a  ∈  b | ℰ(a) } die Aussonderung aus b gemäß ℰ(x). Die Existenz dieser Mengen wird ebenfalls axiomatisch garantiert, durch das sog. Aussonderungsschema.

 Eine Eigenschaft ℰ(x) heißt beschränkt, falls eine Menge b existiert derart, dass für alle Objekte a gilt: aus ℰ(a) folgt a  ∈  b. Ist ℰ(x) eine beschränkte Eigenschaft, so schreiben wir

{ a | ℰ(a) }

für die Menge aller Objekte a mit der Eigenschaft ℰ(x).

 Die bekannte Russell-Zermelo-Antinomie zeigt, dass eine uneingeschränkte Zusammenfassung von Objekten einer bestimmten Eigenschaft zu Widersprüchen führen kann: Sei ℰ(x) die Eigenschaft „x ist eine Menge mit x  ∉  x“. Dann existiert die Komprehension { x | ℰ(x) } nicht:

 Positiv formuliert zeigt das Argument: Die Eigenschaft ℰ(x) = „x ist Menge mit x  ∉  x“ ist nicht beschränkt. Es gibt also notwendig viele Mengen, die sich nicht selbst enthalten. In der Mengenlehre garantiert das Fundierungsaxiom, dass es gar keine Menge x gibt mit x  ∈  x. Es führt zu einem klaren Bild des mengentheoretischen Universums.

 Wir kommen auf die Russell-Zermelo-Antinomie in Kapitel 2 noch kurz zurück.

Logische Konventionen und Sprechweisen

 Nützlich ist die Abkürzung

gdw  für  genau dann, wenn.

Das Kürzel gdw entspricht also dem englischen von Halmos eingeführten iff für if and only if. Weiter schreiben wir oft kurz „A folgt B“ anstelle von „aus A folgt B“ oder „wenn A gilt, so gilt auch B“ oder „A impliziert B“.

 Quantoren platzieren wir frei an geeigneter Stelle, wobei die Wirkungsbereiche der Quantoren durch verschiedene notationelle Möglichkeiten klar abgegrenzt werden. In buchhalterischer Korrektheit stehen Quantoren vor ihren Wirkungsbereichen. Speziell Allquantoren am Ende einer Aussage sind aber im Deutschen besser und schneller lesbar. So schreiben wir etwa:

„Es gibt ein b mit der Eigenschaft:

Es gilt ℰ(a, b) für alle a  ∈  c.“

Dagegen wäre ohne Doppelpunkt und Neuzeile, also

„Es gibt ein b mit ℰ(a, b) für alle a  ∈  c.“

ungünstig, da es zu unheilvollen Verwechslungen mit der in der Regel viel schwächeren Aussage „für alle a  ∈  c gibt es ein b mit ℰ(a, b)“ kommen könnte.

 Die aus der Logik entliehenen üblichen Zeichen ∀ und ∃ für die Quantoren in formalen syntaktischen Ausdrücken findet der Autor im semantischen mathematischen Fließtext unschön, und sie werden deswegen dort oftmals vermieden. In der Analysis ist ihre Verwendung als reine Abkürzung sicher sinnvoll.

 Schließlich versuchen wir Klammern zu sparen und durch verschiedene optische Hinweise Ausdrücke zu strukturieren. So bedeutet etwa:

A und B  folgt  C

die Aussage „aus (A und B) folgt C“, und ist aufgrund der Kursivstellung und der Abstände auch dann noch besser lesbar, wenn man schon vereinbart hat, dass der Junktor „und“ stärker bindet als der Junktor „folgt“.

Zahlen

 Wie üblich bezeichnen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ die natürlichen, ganzen, rationalen und die reellen Zahlen. Die natürlichen Zahlen ℕ enthalten die Null. Im Verlauf des Buches schreiben wir dann auch ω für ℕ, und identifizieren so ℕ mit der ersten unendlichen Ordinalzahl.

 Weiter seien ℝ⁺ = { x  ∈  ℝ | x > 0 } und ℝ⁺₀ = ℝ⁺ ∪ { 0 }. Analog sind ℚ⁺ und ℚ⁺₀ definiert, und ebenso ist ℕ⁺ = ℕ − { 0 }. Wie üblich ist ε die kanonische Variable für ein „kleines“ x  ∈  ℝ⁺.

 Intervalle [ a, b ] enthalten die Grenzpunkte, offene Intervalle ohne ihre Grenzpunkte schreiben wir als ] a, b [. Die konkurrierende Schreibweise (a, b) für offene Intervalle wird wegen der Verwechslungsgefahr mit geordneten Paaren vermieden. Wie üblich ist dann etwa das halb offene reelle Intervall ] a, b ] die Menge { x  ∈  ℝ | a < x ≤ b }, und das uneigentliche reelle Intervall ] − ∞, a ] die Menge { x  ∈  ℝ | x ≤ a }.

 Speziell im Umfeld der Maß- und Integrationstheorie lassen wir oft auch ∞ und − ∞ als reellen Wert zu. Es gilt die übliche Arithmetik, etwa x + ∞ = ∞ für alle x  ∈  ℝ ∪ { ∞ }. Das Intervall [ 0, ∞ [ hat dann die Länge ∞.

 Wir verwenden von Beginn an die vertraute Dezimaldarstellung reeller Zahlen und allgemeiner ihre b-adische Darstellung für eine natürliche Zahl b ≥ 2. Eine solche Darstellung ist für einige rationale Zahlen nicht eindeutig: So ist etwa 1,000… = 0,999…; letztere Zahl ist ja per Definition der Grenzwert der unendlichen Summe 0 + 9/10 + 9/100 + 9/1000 + … . Feinheiten und Varianten dieser Darstellungen besprechen wir in Kapitel 3.

 Im Zweifel nennen wir die nicht abbrechende Darstellung einer Zahl die kanonische Darstellung. 0,000… sei dabei die kanonische Darstellung der Null; alle anderen kanonischen Darstellungen haben unendlich viele von 0 verschiedene Ziffern.

Relationen

 Geordnete Paare, Tripel, usw. schreiben wir in der Form (a, b), (a, b, c), … Für Strukturen (topologische Räume, lineare Ordnungen, usw.) verwenden wir bevorzugt die Schreibweise 〈 M, R 〉 anstelle von (M, R). Offiziell ist ein geordnetes Paar (a, b) die Menge { { a }, { a, b } }, und (a, b, c) ist ((a, b), c), usw.

 Eine Menge R ist eine n-stellige Relation auf einer Menge A, falls R ⊆ Aⁿ. Es gilt also R(a₁, …, a_n) genau dann, wenn (a₁, …, a_n)  ∈  R. Ist R zweistellig, so schreiben wir auch a R b für R(a, b).

 Eine zweistellige Relation R auf A heißt:

 Eine zweistellige Relation R heißt Äquivalenzrelation auf A, falls R reflexiv, symmetrisch und transitiv auf A ist. Für x  ∈  A sei x/R = [ x ]_R = { y  ∈  A | x R y } die Äquivalenzklasse von x und A/R = { x/R | x  ∈  R } die Menge der Äquivalenzklassen von R. A/R heißt auch die durch R gegebene Zerlegung oder Faktorisierung von A.

 Eine zweistellige Relation R auf A heißt partielle Ordnung auf A, falls R irreflexiv und transitiv ist. Wir verwenden ausschließlich suggestive Zeichen wie <, ≺ für partielle Ordnungen, die sich zu einem Kleinergleich, also hier ≤ und ≼, ergänzen lassen. Weiter setzen wir dann automatisch für x, y  ∈  A:

x  ≼  y,  falls  x ≺ y  oder  x = y.

≼ ist eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation auf A. Derartige Relationen werden ebenfalls als partielle Ordnungen (vom kleinergleich-Typ) bezeichnet. Eine partielle Ordnung ≼ vom kleinergleich-Typ führt zu einer (strikten) partiellen Ordnung ≺ durch die Festsetzung: x ≺ y,  falls  x ≼ y und x ≠ y.

 Eine partielle Ordnung < auf A heißt lineare Ordnung oder auch totale Ordnung auf A, falls für alle x, y  ∈  A gilt, dass x ≤ y oder y ≤ x.

 Wir nennen auch das Tupel 〈 A, < 〉 eine partielle bzw. lineare Ordnung, falls < eine partielle bzw. lineare Ordnung auf A ist.

Funktionen

 Eine Funktion f fassen wir als eine rechtseindeutige Menge von geordneten Paaren auf: Eine zweistellige Relation f heißt eine Funktion, falls für alle x, y, z gilt: (x, y)  ∈  f und (x, z)  ∈  f  folgt  y = z. Wir schreiben auch f (x) = y für (x, y)  ∈  f. Es gilt also trivialerweise f = { (x, y) | y = f (x) } für Funktionen f. Ist f eine Funktion, so bezeichnen wir den Definitionsbereich von f mit dom(f) [ domain von f ] und den Wertebereich von f mit rng(f) [ range von f ]. Es gilt also:

 Wie üblich meint „f  : A → B“: f ist eine Funktion, dom(f) = A, rng(f) ⊆ B.

 Eine Funktion f heißt injektiv oder linkseindeutig, falls für alle x, y, z gilt: Sind (x, z)  ∈  f und (y, z)  ∈  f, so ist x = y. Die Injektivität einer Funktion f benötigt keine Angabe eines Wertebereichs. Dagegen meint ein Ausdruck „f : A → B surjektiv“, dass rng(f) = B. Schließlich meint „f : A → B bijektiv“, dass f injektiv und f : A → B surjektiv ist. f heißt dann auch eine Bijektion von A nach B.

 Wir verwenden die in der Logik weit verbreitete Notation für Bilder und Urbilder. Ist f eine Funktion, und ist A eine beliebige Menge, so ist

 Insbesondere gilt also rng(f) = f ″A für alle Funktionen f  : A → B.

 Eine Funktion f  : ℕ → A nennen wir auch eine Folge in der Menge A. Ein Ausdruck 〈 a_n | n  ∈  ℕ 〉 bezeichnet die Folge f mit f (n) = a_n für n  ∈  ℕ. Oft schreiben wir eine Folge f = 〈 a_n | n  ∈  ℕ 〉 auch als a₀, a₁, …, a_n, …, n  ∈  ℕ. In Definitionen schreiben wir oft kurz „seien a_n  ∈  A für n  ∈  ℕ“, statt „sei 〈 a_n | n  ∈  ℕ 〉 eine Folge in A“. Allgemeiner schreiben wir eine beliebige Funktion f mit I = dom(f) auch in der Folgenform f = 〈 a_i | i  ∈  I 〉 mit a_i = f (i) für i  ∈  I, und wir schreiben dann auch { a_i | i  ∈  I } für rng(f). Eine Folge f = 〈 a_i | i  ∈  I 〉 heißt eine Aufzählung von A, falls A = { a_i | i  ∈  I } gilt, d. h. f  : I → A ist surjektiv. Ist zudem a_i ≠ a_j für i ≠ j, so sagen wir: 〈 a_i |i  ∈  I 〉 ist eine Aufzählung von A ohne Wiederholungen oder eine injektive Aufzählung von A. Es gilt dann f  : I → A bijektiv.

 Die weitere Notation folgt den üblichen Standards. Wir verwenden aber vielleicht öfter als anderswo kleine Buchstaben a, b, c, x, y, z, usw. für relativ kompliziert strukturierte Objekte. Immer wird aber die „a-A-𝒜-𝔄-Konvention“ eingehalten, bei der größere und kompliziertere Zeichen auch für komplexere Objekte stehen.

Eine Tabelle

 Wir stellen einige bereits diskutierte und einige weitere Notationen der Übersicht halber in einer Tabelle zusammen.

 Der Autor darf ^AB, mit dem Vermerk: „Mit der Bitte um Kenntnisnahme“ versehen. Damit soll es dann auch des trockenen Tones wieder genug sein.