2. Quantoren
Übung 1
(a) | Wir betrachten einen neuen Quantor: ∃=2 x A(x) = „es gibt genau zwei x mit A(x)“ Definieren Sie diesen Quantor formal (in Analogie zum eindeutigen Existenzquantor ∃!) mit Hilfe der Quantoren ∀ und ∃. |
(b) | Geben Sie je ein umgangssprachliches und ein mathematisches Beispiel an, das zeigt, dass die Quantorenregel ∃x (A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃x B(x) keine Äquivalenz ist (d. h. dass wir im Allgemeinen die Implikation → nicht durch die Äquivalenz ↔ ersetzen können). |
Übung 2
Formulieren Sie formal mit Hilfe von Quantoren:
(a) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist streng monoton steigend.“ |
(b) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.“ |
(c) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist 2π-periodisch.“ |
(d) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist unbeschränkt (d. h. sie nimmt im Betrag beliebig große Werte an).“ |
(e) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist konstant, aber nicht die Nullfunktion.“ |
(f) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ nimmt alle Werte im Intervall [ −1, 1 ] an.“ |
(g) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ nimmt genau die Werte 1 und −1 an.“ |
(h) | „Die Funktion nimmt mit jedem Wert, den sie annimmt, auch das Negative dieses Werts an.“ |
Ihre Formalisierungen sollen dabei außer den logischen Zeichen nur die Zeichen < und =, arithmetische Symbole für die Grundrechenarten, die Betragsfunktion und Konstanten wie 0, 1, 2, π enthalten. Quantoren beziehen sich auf die reellen Zahlen, d. h. ∀x bedeutet „für alle reellen Zahlen x“, ∃x bedeutet „es gibt eine reelle Zahl“.