3. Mengen
Übung 1
(a) | Zeichnen Sie je ein Venn-Diagramm zur Illustration der Mengenoperationen A Δ B Δ C, A Δ B Δ C Δ D und (optional) auch für A Δ B Δ C Δ D Δ E. (Die Operation ist assoziativ, sodass wir Klammern weglassen können.) |
(b) | Die symmetrische Differenz A Δ B ist die Menge aller a, die in genau einer der Mengen A, B vorkommen. Formulieren Sie mit Hilfe ihrer Diagramme (und weiteren Überlegungen) eine analoge Beschreibung von A1 Δ … Δ An für beliebige n ≥ 1 (ohne Beweis). |
(c) | Definieren Sie die Vereinigung zweier Mengen mit Hilfe des Durchschnitts ∩ und der symmetrischen Differenz Δ. Weisen Sie nach, dass Ihre Definition korrekt ist. |
Lösungshinweis
zu (a): Verwenden Sie Kreise und Ellipsen. Achten Sie darauf, dass alle Kombinationen durch ihr Diagramm erfasst werden (2n für n Mengen inklusive des äußeren Bereichs, der x ∉ A, x ∉ B, … entspricht).
Übung 2
(a) | „Die Potenzmenge von { 1, …, 11 } hat genau doppelt so viele Elemente wie die Potenzmenge von { 1, …, 10 }.“ Begründen Sie diese Aussage möglichst anschaulich und elementar. |
(b) | Beweisen Sie, dass für alle Mengen A, B gilt: A ⊆ B ↔ ℘(A) ⊆ ℘(B) |
(c) | Beweisen Sie, dass für alle Mengen A, B gilt: ℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B) |
Lösungshinweis
zu (a): Aufteilung der Teilmengen X von { 1, …, 11 } nach „11 ∈ X“ bzw. „11 ∉ X“.
zu (b) und (c): Zweiteilig in Hin- und Rückrichtung bzw. in ⊆ und ⊇.