2b. Quantoren (Lösungen)
Übung 1
(a) | Wir betrachten einen neuen Quantor: ∃=2 x A(x) = „es gibt genau zwei x mit A(x)“ Definieren Sie diesen Quantor formal (in Analogie zum eindeutigen Existenzquantor ∃!) mit Hilfe der Quantoren ∀ und ∃. |
(b) | Geben Sie je ein umgangssprachliches und ein mathematisches Beispiel an, das zeigt, dass die Quantorenregel ∃x (A(x) ∧ B(x)) → ∃x A(x) ∧ ∃x B(x) keine Äquivalenz ist (d. h. dass wir im Allgemeinen die Implikation → nicht durch die Äquivalenz ↔ ersetzen können). |
Lösung zur Übung 1
zu (a):
Wir definieren ∃=2 x A(x) durch
∃x, y (x ≠ y ∧ A(x) ∧ A(y)) ∧
∀x, y, z (A(x) ∧ A(y) ∧ A(z) → x = y ∨ x = z ∨ y = z)
Die beiden Teilaussagen bedeuten dabei:
(i) | ∃x, y (x ≠ y ∧ A(x) ∧ A(y)): „es gibt (mindestens) zwei verschiedene Objekte mit der Eigenschaft A“ |
(ii) | ∀x, y, z (A(x) ∧ A(y) ∧ A(z) → x = y ∨ x = z ∨ y = z): „von je drei Objekten mit der Eigenschaften A sind zwei gleich“ d. h. „es gibt höchstens zwei verschiedene x, y mit der Eigenschaft A“ |
„mindestens zwei und höchstens zwei“ bedeutet „genau zwei“.
zu (b):
Umgangssprachlich:
A(x) = „x ist ein Frosch“
B(x) = „x ist ein Prinz“
Es gibt Frösche und Prinzen, aber es gibt niemanden, der ein Frosch und ein Prinz ist. Dieses umgangssprachliche Beispiel kann Diskussionen auslösen, und es ist besser, bei der Mathematik zu bleiben:
A(n) = „n ist eine gerade natürliche Zahl“
B(n) = „n ist eine ungerade Primzahl“
Es gibt gerade natürliche Zahlen und ungerade Primzahlen, aber keine Zahlen, die beides sind.
Übung 2
Formulieren Sie formal mit Hilfe von Quantoren:
(a) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist streng monoton steigend.“ |
(b) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.“ |
(c) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist 2π-periodisch.“ |
(d) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist unbeschränkt (d. h. sie nimmt im Betrag beliebig große Werte an).“ |
(e) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ ist konstant, aber nicht die Nullfunktion.“ |
(f) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ nimmt alle Werte im Intervall [ −1, 1 ] an.“ |
(g) | „Die Funktion f : ℝ → ℝ nimmt genau die Werte 1 und −1 an.“ |
(h) | „Die Funktion nimmt mit jedem Wert, den sie annimmt, auch das Negative dieses Werts an.“ |
Ihre Formalisierungen sollen dabei außer den logischen Zeichen nur die Zeichen < und =, arithmetische Symbole für die Grundrechenarten, die Betragsfunktion und Konstanten wie 0, 1, 2, π enthalten. Quantoren beziehen sich auf die reellen Zahlen, d. h. ∀x bedeutet „für alle reellen Zahlen x“, ∃x bedeutet „es gibt eine reelle Zahl“.
Lösung zur Übung 2
(a) | ∀x, y (x < y → f (x) < f (y)) |
(b) | ∀x f (x) = − f (−x) |
(c) | ∀x f (x) = f(x + 2π) |
(d) | ∀x ∃y |f (y)| ≥ x |
(e) | ∃c (c ≠ 0 ∧ ∀x f (x) = c) |
(f) | ∀y (−1 ≤ y ∧ y ≤ 1 → ∃x f (x) = y) |
(g) | ∃x f (x) = −1 ∧ ∃x f (x) = 1 ∧ ∀x (f (x) = −1 ∨ f (x) = 1) |
(h) | ∀x ∃x′ f (x′) = − f (x) |