3b. Mengen (Lösungen)
Übung 1
(a) | Zeichnen Sie je ein Venn-Diagramm zur Illustration der Mengenoperationen A Δ B Δ C, A Δ B Δ C Δ D und (optional) auch für A Δ B Δ C Δ D Δ E. (Die Operation ist assoziativ, sodass wir Klammern weglassen können.) |
(b) | Die symmetrische Differenz A Δ B ist die Menge aller a, die in genau einer der Mengen A, B vorkommen. Formulieren Sie mit Hilfe ihrer Diagramme (und weiteren Überlegungen) eine analoge Beschreibung von A1 Δ … Δ An für beliebige n ≥ 1 (ohne Beweis). |
(c) | Definieren Sie die Vereinigung zweier Mengen mit Hilfe des Durchschnitts ∩ und der symmetrischen Differenz Δ. Weisen Sie nach, dass Ihre Definition korrekt ist. |
Lösung zur Übung 1
zu (a):
Venn-Diagramm für A Δ B Δ C
Alle achte Bereiche sind dargestellt (wobei der äußere Bereich mitzählt).
Die Bereiche entsprechen den möglichen Kombination von
( ∈ bzw. ∉ ) A, ( ∈ bzw. ∉ ) B, ( ∈ bzw. ∉ ) C
Partielles Venn-Diagramm für A Δ B Δ C Δ D
Es sind 14 von 16 Bereichen dargestellt.
Partielles Venn-Diagramm für A Δ B Δ C Δ D Δ E
mit 22 von 32 Bereichen.
Vollständiges Venn-Diagramm für A Δ B Δ C Δ D
Vollständiges Venn-Diagramm für A Δ B Δ C Δ D Δ E
zu (b):
Die Menge A Δ B Δ C ist die Menge aller a, die in genau einer der Mengen A, B, C oder in allen drei Mengen A, B, C vorkommen.
Die Menge A Δ B Δ C Δ D ist die Menge aller a, die in genau einer oder in genau drei der Mengen A, B, C, D vorkommen.
Die Menge A Δ B Δ C Δ D Δ E ist die Menge aller a, die in genau einer, genau drei oder genau fünf der Mengen A, B, C, D, E vorkommen.
Allgemein ist A1 Δ … Δ An die Menge aller a, die in einer ungeraden Anzahl in den Mengen A1, …, An vorkommen, d. .h:
A1 Δ … Δ An = { a | |{ k | a ∈ Ak }| ist ungerade }
zu (c): Wir definieren für alle Mengen A, B:
A ∪* B = (A ∩ B) Δ (A Δ B)
Seien nun A, B beliebig, und sei C = A ∪* B. Die Menge C ist die Menge aller a, die entweder in A ∩ B oder in A Δ B als Element vorkommen. Damit ist C die Menge aller a, die sowohl in A als auch in B oder entweder in A oder in B als Element vorkommen. Also ist C = A ∪ B.
Übung 2
(a) | „Die Potenzmenge von { 1, …, 11 } hat genau doppelt so viele Elemente wie die Potenzmenge von { 1, …, 10 }.“ Begründen Sie diese Aussage möglichst anschaulich und elementar. |
(b) | Beweisen Sie, dass für alle Mengen A, B gilt: A ⊆ B ↔ ℘(A) ⊆ ℘(B) |
(c) | Beweisen Sie, dass für alle Mengen A, B gilt: ℘(A) ∩ ℘(B) = ℘(A ∩ B) |
Lösung zur Übung 2
zu (a):
Es gibt genauso viele Teilmengen von { 1, …, 11 }, die die Zahl 11 enthalten, wie es Teilmengen von { 1, …, 11 } gibt, die die Zahl 11 nicht enthalten. (Dies lässt sich durch Streichen oder Hinzufügen der Zahl 11 von bzw. zu einer Teilmenge von { 1, …, 11 } einsehen.) Weiter gilt: Die Teilmengen von { 1, …, 11 }, die die 11 nicht enthalten, sind genau die Teilmengen von { 1, …, 10 }. Hieraus ergibt sich die Behauptung.
zu (b):
A ⊆ B impliziert ℘(A) ⊆ ℘(B):
Es gelte A ⊆ B. Dann ist jede Teilmenge von A auch eine Teilmenge von B (Transitivität der Teilmengenrelation). Folglich ist jedes Element der Potenzmenge von A auch ein Element der Potenzmenge von B. Dies zeigt, dass ℘(A) ⊆ ℘(B).
℘(A) ⊆ ℘(B) impliziert A ⊆ B:
Es gelte ℘(A) ⊆ ℘(B). Wegen A ⊆ A gilt A ∈ ℘(A). Nach Voraussetzung ist also A ∈ ℘(B). Damit gilt A ⊆ B.
zu (c):
℘(A) ∩ ℘(B) ⊆ ℘(A ∩ B):
Sei X ∈ ℘(A) ∩ ℘(B) beliebig. Dann gilt X ∈ ℘(A) und X ∈ ℘(B), sodass X ⊆ A und X ⊆ B. Damit ist X ⊆ A ∩ B (denn jedes Element von X ist sowohl in A als auch in B als Element enthalten). Also gilt X ∈ ℘(A ∩ B). Dies zeigt die Inklusion.
℘(A ∩ B) ⊆ ℘(A) ∩ ℘(B):
Sei X ∈ ℘(A ∩ B) beliebig. Dann gilt X ⊆ A ∩ B. Wegen A ∩ B ⊆ A gilt X ⊆ A, sodass X ∈ ℘(A). Wegen A ∩ B ⊆ B ist analog X ⊆ B, sodass X ∈ ℘(B). Dies zeigt, dass X ∈ ℘(A) ∩ ℘(B).