6. Algebraische Gleichungen

Übung 1

Wir betrachten das komplexe Polynom P : ℂ → ℂ mit

P(z)  =  i z5  +  (2 − 4 i) z4  −  (4 − i) z3  +  3 i z2  −  2z  −  (2 + 4 i)  =  0

Weiter sei w = 3 + i.

(a)

Zeigen Sie durch Nachrechnen, dass w eine Nullstelle von P ist.

(b)

Berechnen Sie das Polynom Q : ℂ → ℂ mit

P(z)  =  (z − w) Q(z)  für alle z  ∈  ℂ.

Verwenden Sie zur Berechnung von Q die Rekursionsformeln des Satzes über das Abspalten von Nullstellen.

Lösungshinweis

Alle Berechnungen können per Hand durchgeführt werden. Berechnen Sie für (a) zuerst die Potenzen w2, …, w5. Durch Einsetzen dieser Werte lässt sich nun P(w) berechnen. Dabei ist es übersichtlicher, Re(P(w)) = 0 und Im(P(w)) = 0 zu zeigen.

Nach dem Beweis des Satzes über das Abspalten von Nullstellen gilt

Q(z)  =  b4 z4  +  b3 z3  +  b2 z2  +  b1 z  +  b0

mit b4 = a5 und bj = w bj + 1 + aj + 1 für j = 3, …, 0 (mit den Koeffizienten aj des Polynoms P). Die Koeffizienten von Q lassen sich in dieser rekursiven Form leicht berechnen.

Übung 2

Sei z2 + b z + c = 0 eine algebraische Gleichung zweiten Grades in der Variablen z in einem Körper K. Weiter sei w1  ∈  K eine Lösung der Gleichung, und es sei w2 = − (b + w1). Zeigen Sie mit Hilfe der Körperaxiome und einfacher Folgerungen aus diesen Axiomen (Inversenregeln, binomische Formeln, Nullteilerfreiheit):

(a)

w2 ist eine Lösung der Gleichung.

(b)

w1 + w2  =  −b,  w1 w2  =  c. (Regeln von Vieta) 

(c)

Ist w  ∈  K eine Lösung der Gleichung, so gilt w = w1 oder w = w2.

Lösungshinweis

Die Aussage (a) ergibt sich durch Einsetzen in die Gleichung und (b) lässt sich durch Ausrechnen zeigen. Für (c) ist die Differenz der Gleichung für z = w1 bzw. z = w hilfreich. Achten Sie darauf, dass Sie nur Körperaxiome und einfache Rechenregeln in Körpern verwenden.

Übung 3

Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden komplexen Gleichungen in der Variablen z  ∈  ℂ. Geben Sie die Lösungen in der Standardform

z  =  Re(z) + i Im(z)  =  x + iy  mit  x, y  ∈  ℝ

an.

(a)

z2  −  (3 + 2 i) z  +  6 i  =  0,

(b)

z2  −  (3 − i) z  +  8 + i  =  0,

(c)

z4  =  1,

(d)

z6  =  1.

Lösungshinweis

Die Gleichungen (a) und (b) lassen sich mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und der Formel für die Berechnung von komplexen Wurzeln berechnen. Die Lösungen der Gleichung (c) lassen sich raten oder durch Übergang zu (z2)2 = 1 bestimmen. Dieser Übergang ist für Gleichung (d) hilfreich; die dritten Einheitswurzeln können dabei ohne Beweis verwendet werden.

Übung 4

Skizzieren Sie die Lösungen der komplexen Gleichung

(z − 1 + i)5 − 4 2 i  =  0.

(Die Lösungen lassen sich geometrisch finden.)

Lösungshinweis

Betrachten Sie zuerst die Lösungen von z5 = 4 2 i (analog zu z5 = 1 bzw. z5 = i) und gewinnen Sie hieraus die Lösungen von (z − 1 + i)5 = 4 2 i.