1. Konvergente Folgen
Übung 1
Sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ, und sei x ∈ ℝ. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent zur Konvergenz der Folge gegen x sind:
(a) | ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x| ≤ ε, |
(b) | ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x| < 2 ε, |
(c) | ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |x2n − x| < ε, |
(d) | ∀ε > 0 ∃n0 ∀n > n0 |xn − x| < ε, |
(e) | ∀ε > 0 ∀n0 ∃n ≥ n0 |xn − x| < ε, |
(f) | ∀k ≥ 1 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x| < 1/k (mit k ∈ ℕ). |
Lösungshinweis
Vergleichen Sie die Aussagen jeweils mit der Konvergenzbedingung für x:
(+) ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − x| < ε.
Geben Sie beim Beweis einer Äquivalenz an, wie sich die jeweiligen ε > 0 und die Indizes n0 ineinander umrechnen. Beispielsweise ist, gegeben ε > 0, jedes n0 wie in (+) auch ein geeignetes n0 wie in (a), aber nicht umgekehrt (was nicht heißt, dass keine Äquivalenz vorliegt). Beim Nachweis kann es nützlich sein, die Variablennamen zu verändern. So ist die Konvergenzbedingung beispielsweise äquivalent zu
∀ε′ > 0 ∃n1 ∀n ≥ n1 |xn − x| < ε′,
und analoges gilt für die Aussagen (a) − (f).
Geben Sie für eine nicht gültige Äquivalenz jeweils ein Gegenbeispiel an und weisen Sie für dieses Gegenbeispiel nach, dass die Äquivalenz verletzt ist. Einfache divergente Folgen sind hier hilfreich.
Übung 2
(a) | Wir setzen x2 n = 1 und x2 n + 1 = 0 für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n ∈ ℕ divergiert. |
(b) | Seien I = [ a, b ] und J = [ c, d ] reelle Intervalle mit a < b < c < d. Weiter sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in ℝ derart, dass die Mengen A = { n ∈ ℕ | xn ∈ I } und B = { n ∈ ℕ | xn ∈ J } unendlich sind. Zeigen Sie, dass (xn)n ∈ ℕ divergiert. |
Lösungshinweis
Eine Möglichkeit besteht darin, für ein beliebiges x die Divergenzbedingung nachzuweisen. Alternativ lässt sich Konvergenz gegen x mit Hilfe der Dreiecksungleichung zum Widerspruch führen. Dies gilt für (a) und (b).
Übung 3
Seien (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ Folgen in ℝ mit der Eigenschaft:
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 |xn − yn| < ε.
Zeigen Sie: Konvergiert eine der beiden Folgen, so konvergiert auch die andere, und dann gilt limn xn = limn yn.
Lösungshinweis
Nehmen Sie x = limn (xn)n ∈ ℕ an und folgern Sie x = limn yn. Die Konvergenzbedingung lässt sich für die y-Folge direkt nachweisen. Alternativ kann die Konvergenz auch mit Hilfe der Limesregeln bewiesen werden (durch Heranziehen einer dritten Folge).
Übung 4
Wir definieren rekursiv
x0 = 1, xn + 1 = 1 + 1/xn für alle n ∈ ℕ.
(a) | Berechnen Sie x0, …, x6 in Form von Brüchen und zudem auf vier Nachkommastellen gerundeten Dezimalzahlen. Beschreiben Sie (ohne Beweis) die Folge der Brüche im Sinne eines anschaulichen Bildungsgesetzes. |
(b) | Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n ∈ ℕ eine linksstartende injektive Pendelfolge ist. |
(c) | Nach (b) existieren s = supn x2n = limn x2n, t = infn x2n + 1 = limn x2n + 1. Zeigen Sie, dass s und t Lösungen der Gleichung x2 − x − 1 = 0 sind. Folgern Sie, dass s = t = limn xn und berechnen Sie den Grenzwert. Geben Sie den Grenzwert auch wieder als auf vier Nachkommastellen gerundete Dezimalzahl an. |
Lösungshinweis
Durch die Berechnung in (a) wird das Pendelverhalten der Folge und ihre Konvergenz bereits nahegelegt. Zum Beweis von (b) genügt es zu zeigen, dass für alle n ∈ ℕ gilt:
(+) xn + 2 liegt zwischen xn und xn + 1.
Dies lässt sich durch eine Fallunterscheidung nach xn < xn + 1 und xn + 1 < xn zeigen (der Nachweis eines Falles genügt, der zweite Fall ist analog).
Für (c) ist es nützlich vorab zu zeigen:
xn + 2 = 1 + 2 xn1 + xn für alle n ∈ ℕ.
Aus dem Limesregeln ergibt sich nun, dass sowohl s als auch t die Gleichung x2 − x − 1 = 0 lösen. Dabei sind Verschiebungsregeln für konvergente Folgen wichtig: Konvergiert (yn)n ∈ ℕ, so gilt
limn yn = limn yn + 1 = limn yn + 2 = …
Durch derartige Verschiebungen lassen sich zusammen mit den Limesregeln die Grenzwerte vieler rekursiv definierter Folgen bestimmen.