5b. Konvergenzkriterien für Reihen (Lösungen)

Übung 1

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℝ. Zeigen Sie:

(a)	∑_n x_n konvergiert genau dann, wenn gilt: ∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ m ≥ n₀ \|∑_{m < k ≤ n} x_k\| < ε.

(b)	Konvergiert ∑_n x_n, so ist lim_n x_n = 0.

Lösung zur Übung 1

zu (a): Für alle n  ∈  ℕ sei s_n = ∑_k ≤ n x_k. Nach Definition der Konvergenz einer unendlichen Reihe konvergiert ∑_n x_n genau dann, wenn die Folge (s_n)_{n  ∈  ℕ} ihrer Partialsummen konvergiert. Nach dem Charakterisierungssatz für konvergente Folgen konvergiert (s_n)_{n  ∈  ℕ} genau dann, wenn (s_n)_{n  ∈  ℕ} eine Cauchy-Folge ist. Dies bedeutet:

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n, m ≥ n₀ |s_n − s_m| < ε.

Eine äquivalente Formulierung ist:

(+) ∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ m ≥ n₀ |s_m − s_n| < ε.

(Für alle n, m gilt |s_n − s_m| = |s_m − s_n|, sodass wir in der Quantifizierung über m und n ohne Einschränkung annehmen können, dass n ≥ m.)

Für alle n ≥ m gilt

s_n − s_m = ∑_k ≤ n x_k − ∑_k ≤ m x_k = ∑_{m < k ≤ n} x_k

Damit ist (+) gleichbedeutend mit

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ m ≥ n₀ |∑_{m < k ≤ n} x_k|

Damit ist die Äquivalenz in (a) bewiesen.

Bemerkung Die Cauchy-Bedingung für Reihen lässt wieder zahlreiche Variante zu. Sie ist zum Beispiel äquivalent zu

∀ε > 0 ∃n₀ ∀n ≥ m ≥ n₀ |∑_{m ≤ k ≤ n} x_k| < ε.

zu (b): Sei ∑_n x_n konvergent. Sei ε > 0 beliebig. Nach (a) gibt es ein n₀ mit

∀n ≥ m ≥ n₀ |∑_{m < k ≤ n} x_k| < ε.

Speziell gilt für alle m ≥ n₀, dass

|x_n| = |∑_{n + 1 < k ≤ n} x_k| < ε.

Dies zeigt, dass lim_n x_n = 0.

Übung 2

Sei ∑_n x_n eine absolut konvergente Reihe in ℝ. Zeigen Sie:

∑_n x_n = ∑_n x_2n + ∑_n x_2n + 1.

Gilt diese Aussage für alle konvergenten Reihen ∑_n x_n?

Lösung zur Übung 2

Sei also ∑_n |x_n| konvergent. Sei ε > 0 beliebig. Nach der Cauchy-Bedingung für Reihen gibt es ein n₀ mit

(+) ∀n ≥ m ≥ n₀ ∑_{m ≤ k ≤ n} |x_k| < ε.

Dann gilt aber für alle n ≥ m ≥ n₀ auch

|∑_{m ≤ k ≤ n, k gerade} x_k| ≤ ∑_{m ≤ k ≤ n, k gerade} |x_k| < ε.

(Bei der ersten Ungleichung verwenden wir die Dreiecksungleichung und die zweite Summe ist eine Teilsumme der Summe in (+).)

Dies zeigt die Cauchy-Bedingung für die Reihe ∑_n x_2n, sodass diese Reihe konvergiert. Analog konvergiert ∑_n x_2n + 1. Nach dem Limesregeln gilt dann aber (mit s_n = ∑_k ≤ n x_k):

∑_n x_2n + ∑_n x_2n + 1	= lim_n ∑_k ≤ n x_2k + lim_n ∑_k ≤ n x_2k + 1
	= lim_n (∑_k ≤ n x_2k + ∑_k ≤ n x_2k + 1)
	= lim_n ∑_k ≤ n (x_2k + x_2k + 1)
	= lim_n ∑_{k ≤ 2n + 1} x_k = lim_n s_2n + 1 = ∑_n x_n.

Im vorletzten Schritt verwenden wir, dass jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen den Grenzwert der Folge konvergiert (angewendet auf die Teilfolge (s_2n + 1)_{n  ∈  ℕ} der Folge (s_n)_{n  ∈  ℕ}) der Partialsummen von ∑_n x_n).

Gegenbeispiel für bedingt konvergente Reihen

Die Aussage ist für bedingt konvergente Reihen im Allgemeinen nicht gültig. Als Beispiel betrachten wir die Reihe

1 − 1 + 1/2 − 1/2 + 1/3 − 1/3 + … + 1/n − 1/n + δ

sie konvergiert gegen 0 (denn es gilt s_2n = 0 und s_2n − 1 = 1/n mit Summen ab 1). Die zugehörigen Reihen

1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + …

− 1 − 1/2 − 1/3 − 1/5 − …

mit geraden bzw. ungeraden Indizes sind divergent (aufgrund der Divergenz der harmonischen Reihe).

Zweite Lösung zu Übung 2

Sei wieder ∑_n x_n absolut konvergent. Wir betrachten die Reihen

x₀ + 0 + x₂ + 0 + x₄ + 0 + …

0 + x₁ + 0 + x₃ + 0 + x₅ + …

Die Reihe ∑_n |x_n| ist eine konvergente Majorante für beide Reihen, sodass diese Reihen nach dem Majorantenkriterium konvergieren. Ihre Werte sind offenbar gleich ∑_n x_2n bzw. ∑_n x_2n + 1. Der Rest ist wie im Beweis oben.

Übung 3

Zeigen Sie:

(a)	∑_n 1/n! konvergiert.

(b)	∑_n ≥ 1 1/ $\sqrt{n (n + 1)}$ divergiert.

(c)	∑_n ≥ 1 n!/nⁿ konvergiert.

(d)	∑_n ≥ 1 n²/2ⁿ konvergiert.

Lösung zur Übung 3

zu (a):

Wir verwenden das Quotientenkriterium. Für alle n ≥ 1 gilt:

|^{1/(n + 1)!}_1/n!| = ^n!_(n + 1)! = ¹_n + 1 ≤ ¹₂.

Damit konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium mit x = 1/2 und n₀ = 1.

Die ersten Glieder ⁿ $\sqrt{{|x}_{n} |}$ (blau) und |x_n + 1/x_n| (gelb) der Folgen wie im Wurzel- bzw. Quotientenkriterium. Beide Folgen konvergieren gegen 0.

Hier und im Folgenden stehen „WK“ und „QK“ für „Wurzelkriterium“ bzw. „Quotientenkriterium“.

zu (b):

Sei n ≥ 1. Dann gilt

$\sqrt{n (n + 1)}$ ≤ $\sqrt{(n + 1)^{2}}$ = n + 1.

Damit erhalten wir

$\frac{1}{\sqrt{n (n + 1)}}$ ≥ ¹_n + 1

Damit divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium (da die Minorante ∑_n ≥ 1 1/(n + 1) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + … wie die harmonische Reihe divergiert).

Die Folgen des Wurzel- und Quotientenkriteriums konvergieren von unten gegen 1, sodass die Kriterien nicht anwendbar sind.

zu (c):

Wir verwenden das Wurzelkriterium. Zunächst schätzen wir Fakultät ab. Sei hierzu n ≥ 1. Es gilt n! ≤ nⁿ, da jeder Faktor der Fakultät kleinergleich n ist. Um eine bessere Abschätzung zu erhalten, setzen wir

m = n/2 falls n gerade, m = (n − 1)/2 falls n ungerade

Dann gilt:

n! = n (n − 1) · … · 2 · 1 ≤ ^nⁿ_2^m

Denn die letzten m Faktoren von n! sind alle kleinergleich n/2. Für alle n ≥ 2 gilt m ≠ 0 und n/m ≤ 3. (Ist n = 2m, so gilt n/m = 2; ist n = 2m + 1, so ist n/m = 2 + 1/m ≤ 3.) Damit gilt im Fall n ≥ 2:

ⁿ $\sqrt{|n! / n^{n} |}$ = $\frac{^{n} \sqrt{n!}}{n}$ ≤ $\frac{^{n} \sqrt{(n^{n} / 2^{m})}}{n}$ = ¹_2^m/n ≤ $\frac{1}{^{3} \sqrt{2}}$ < 1

Die Reihe konvergiert nach dem Wurzelkriterium mit x = 2^−1/3 ∼ 0,79 und n₀ = 2.

Bemerkung

Das Quotientenkriterium ist ebenfalls anwendbar. Für alle n gilt:

|^{(n + 1)!/(n + 1)^n + 1}_n!/nⁿ| = ^{(n + 1) nⁿ}_{(n + 1)^n + 1} = ^{n^n + 1}_{(n + 1)^n + 1} = (n/n + 1)ⁿ.

Wir werden später zeigen, dass der Grenzwert der Quotienten gleich 1/e ∼ 0,37 ist (mit e = lim_n (1 + 1/n)ⁿ). Das Gleiche gilt für die Folge des Wurzelkriteriums (wie sich mit Hilfe der Stirling-Formel zur Abschätzung der Fakultät zeigen lässt).

Die Folgen der beiden Kriterien konvergieren gegen 1/e ∼ 0,37.

zu (d):

Wir verwenden das Quotientenkriterium. Für alle n ≥ 3 gilt:

\|^{(n + 1)²/2^n + 1}_n²/2ⁿ\|	= ^{(n + 1)² 2ⁿ}_{n² 2^(n + 1)} = ^{(n + 1)²}_{n² 2} = ^{(1 + 1/n)²}₂
	≤ ^{(1 + 1/3)²}₂ = ^16/9₂ = ⁸₉ < 1

Die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium mit x = 8/9 und n₀ = 3.

Die Folgen der beiden Kriterien konvergieren gegen 1/2.

Übung 4

Sei (x_n)_{n  ∈  ℕ} eine monoton fallende Folge positiver Zahlen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)	∑_n x_n konvergiert.

(b)	∑_n (2n + 1) x_n² konvergiert.

(c)	∑_n n x_n² konvergiert.

Lösung zur Übung 4

(a) ist äquivalent zu (b): Wir betrachten die Intervallzerlegung (von ℕ)

0 | 1 2 3 | 4 5 6 7 8 | 9 … 15 | 16 … 24 | … … | n² … | …

mit den Quadratzahlen ab 0 als linken Grenzen. Für alle n ≥ 0 gilt:

a_n = n², b_n = (n + 1)² − 1, δ_n = (n + 1)² − n² = 2n + 1

Für alle n ≥ 0 gilt:

^δ_n + 1_{δ_n} = ^2n + 3_2n + 1 = 1 + ²_2n + 1 ≤ 3.

Nach dem Schlömilch-Konvergenzkriterium haben ∑_n x_n und

∑_n δ_n x_{a_n} = ∑_n (2n + 1) x_n²

das gleiche Konvergenzverhalten.

(b) impliziert (c): Mit Summen in ℝ ∪ { ∞ } gilt

∑_n n x_n² ≤ 2 ∑_n n x_n² + ∑_n x_n² = ∑_n (2n + 1) x_n².

Damit impliziert die Konvergenz der rechten Reihe die der linken.

(c) impliziert (b): Wieder mit Summen in ℝ ∪ { ∞ } gilt

∑_n x_n² ≤ ∑_n n x_n².

Damit konvergiert mit der Reihe ∑_n n x_n² auch die Reihe

2 ∑_n n x_n² + ∑_n x_n² = ∑_n (2n + 1) x_n².