7b. Die Exponentialreihe (Lösungen)

Übung 1

Zeigen Sie:

(a)	Für alle x < y gilt exp(x) < exp(y).

(b)	Für alle x, y  ∈  ℝ mit x ≠ y gilt exp((x + y)/2) < ^{exp(x) + exp(y)}₂.

(c)	Für alle x  ∈  ℝ gilt exp(x) ≥ 1 + x.

(d)	Für alle x < 1 gilt exp(x) ≤ ¹_1 − x.

Lösung zur Übung 1

zu (a):

Seien x, y  ∈  ℝ mit x < y. Sei d = y − x. Dann gilt d > 0, sodass

exp(d) = 1 + d + d²/2 + … > 1.

Damit erhalten wir:

exp(y) = exp(x + d) = exp(x) exp(d) ≥ exp(x) (1 + d) > exp(x).

zu (b):

Seien a, b ≥ 0 mit a ≠ b. Dann gilt:

(+) $\sqrt{a b}$ < (a + b)/2(geometrisches und arithmetisches Mittel)

(Im Fall a = b gilt Gleichheit.)

Beweis von (+)

Wegen (a − b)² > 0 gilt

4 a b	< 4 a b + (a − b)² = 4 a b + a² − 2 a b + b²
	= a² + 2 a b + b² = (a + b)².

Wurzelziehen und Division durch 2 liefert die Behauptung.

Seien nun x, y  ∈  ℝ mit x ≠ y. Wir setzen

a = exp(x), b = exp(y).

Dann gilt a ≠ b nach (c). Nach (+) gilt also

exp((x + y)/2)	= $\sqrt{exp (x + y)}$ = $\sqrt{exp (x) exp (y)}$
	= $\sqrt{a b}$ < (a + b)/2 = (exp(a) + exp(b))/2.

zu (c):

Sei x  ∈  ℝ. Ist x ≥ 0, so gilt

exp(x) = 1 + x + x²/2 + … ≥ 1 + x.

Ist x ≤ −1, so gilt aufgrund der Positivität von exp, dass

exp(x) > 0 ≥ 1 + x

Sei also x  ∈  ] −1, 0 [. Wir geben zwei Beweise für diesen Fall.

Verwendung der Restgliedabschätzung

Die Restgliedabschätzung (mit n₀ = 3) liefert wegen 3 ≥ 2|x| − 1, dass

| ∑_n ≥ 3 ^xⁿ_n!| ≤ ^2|x|³_3! = ^|x³|₃.

Damit und mit |x| < 1 erhalten wir:

exp(x)	= 1 + x + x²/2 + ∑_n ≥ 3 xⁿ/n!
	≥ 1 + x + x²/2 − \|x³\|/3
	= 1 + x + (3 − 2 \|x\|) x²/6
	≥ 1 + x

Pendelfolgenargument

Sei n  ∈  ℕ. Wegen |x| < 1 gilt |x/(n + 1)| < 1 und damit

|^{x^n + 1}_(n + 1)!| < |^xⁿ_n!|.

Die Partialsummen von exp(x) = 1 + x + x²/2 + … bilden also eine rechtsstartende Pendelfolge. Folglich ist 1 + x < exp(x) < 1.

zu (d):

Sei x < 1. Dann gilt nach (c):

exp(− x) ≥ 1 + (− x) = 1 − x.

Wegen x < 1 ist 1 − x > 0. Folglich ist

¹_exp(−x) ≤ ¹_1 − x

Damit erhalten wir

exp(x) = ¹_1/exp(x) = ¹_exp(−x) ≤ ¹_1 − x.

Dreidimensionaler Plot der Funktion f : ℝ² → ℝ mit

f(x, y) = ^{exp(x) + exp(y)}₂ − exp(^x + y₂) für alle x, y  ∈  ℝ

Es gilt f(x, y) = 0 für x = y und f(x, y) > 0 für x ≠ y.

Visualisierung der Abschätzungen in (c) und (d)

Übung 2

Zeigen Sie, dass die Eulersche Zahl e = ∑_n 1/n! irrational ist.

Lösung zur Übung 2

Annahme, e ist rational. Dann gibt es natürliche Zahlen n, m mit e = n/m. Wir setzen:

r = m!(e − ∑_k ≤ m 1/k!) = m! ∑_n > m 1/n! > 0.

Dann gilt

r = m!(n/m − ∑_k ≤ m 1/k!) = (m − 1)! n − ∑_k ≤ m m!/k!  ∈  ℕ.

Im letzen Schritt verwenden wir, dass alle Summanden natürliche Zahlen sind (denn k! ist ein Teiler von m! für k ≤ m). Wegen r > 0 und r  ∈  ℕ ist also r ≥ 1. Andererseits gilt r < 1, wodurch ein Widerspruch erzeugt ist. Wir zeigen r < 1 mit zwei Methoden:

Abschätzung durch eine geometrische Reihe

Es gilt:

r	= m! ∑_n > m ¹_n! = ∑_n > m ^m!_n! ≤ ∑_n > m ¹_{(m + 1) … n}
	< ¹_m + 1 + ¹_{(m + 1)²} + … = ^{1/(m + 1)}_{1 − 1/(m + 1)} = ¹_m ≤ 1

Dabei haben wir die geometrische Reihe (ab 1) für 1/(m + 1) verwendet.

Verwendung der Restgliedabschätzung

Die Restgliedabschätzung liefert (für x = 1 und k = m + 2):

r	= m! ∑_n > m ¹_n! = m! (¹_(m + 1)! + ∑_{n ≥ m + 2} ¹_n!)
	≤ m! (¹_(m + 1)! + ²_(m + 2)!) ≤ ¹₂ + ²_{2 · 3} < 1

Alternativ können wir verwenden, dass 2 < e < 3, sodass m ≥ 2 gelten muss. Dann führt die Restgliedabschätzung für x = 1 und k = m + 1 zum Ziel.

Bemerkung

Da wir Restgliedabschätzung aus der geometrischen Reihe gewonnen haben, sind beide Argumente letztendlich äquivalent.

Übung 3

Zeigen Sie, dass für alle x  ∈  ℝ gilt:

(a)	∑_n ≥ 1 ^xⁿ_{(n − 1)!} = x exp(x),

(b)	∑_n ^xⁿ_(n + 1)! = ^{exp(x) − 1}_x für x ≠ 0,

(c)	∑_n ^{(n + 1) xⁿ}_n! = (x + 1) exp(x).

Lösung zur Übung 3

zu (a): Sei x  ∈  ℝ. Dann gilt

∑_n ≥ 1 ^xⁿ_{(n − 1)!} = x ∑_n ≥ 1 ^{x^n − 1}_{(n − 1)!} = x ∑_n ≥ 0 ^xⁿ_n! = x exp(x).

zu (b): Sei x  ∈  ℝ mit x ≠ 0. Dann gilt

∑_n ^xⁿ_(n + 1)!	= ¹_x ∑_n ^{x^n + 1}_(n + 1)! = ¹_x ∑_n ≥ 1 ^xⁿ_n!
	= ¹_x (exp(x) − 1) = ^{exp(x) − 1}_x.

zu (c): Aus den Limesregeln und (a) erhalten wir

∑_n ^{(n + 1) xⁿ}_n!	= ∑_n ^{n xⁿ}_n! + ∑_n ^xⁿ_n!
	= ∑_n ≥ 1 ^{n xⁿ}_n! + ∑_n ^xⁿ_n!
	= x exp(x) + exp(x) = (x + 1) exp(x).

Übung 4

Sei n  ∈  ℕ. Weiter sei c ≥ 0 beliebig. Zeigen Sie:

exp(x) ≥ (c x)ⁿ für alle x  ∈  ℝ mit x ≥ 4 n² c,

Zudem gilt: Ist n ≠ 0 oder x > 0, so ist exp(x) > (c x)ⁿ.

Insbesondere gilt

exp(x) ≥ xⁿ für alle x  ∈  ℝ mit x ≥ 4 n².

Lösung zur Übung 4

Sei zunächst x ≥ 0 beliebig. Dann gilt

exp(x)	≥ ^x²ⁿ_(2n)! = ^xⁿ_(2n)! xⁿ ≥ ^xⁿ_(2n)²ⁿ xⁿ
	= ^xⁿ_(4n²)ⁿ xⁿ = (^x_4n²)ⁿ xⁿ.

Bei der ersten Ungleichung verwenden wir, dass x²ⁿ/(2n)! ein Summand der Exponentialreihe für x ist (die wegen x ≥ 0 ausschließlich aus nichtnegativen Summanden besteht). Bei der zweiten Ungleichung verwenden wir die für alle k  ∈  ℕ gültige Abschätzung k! ≤ k^k. Alle anderen Umformungen ergeben sich aus den Potenzregeln.

Ist nun x ≥ 4 n² c, so gilt

exp(x) ≥ (^x_4n²)ⁿ xⁿ ≥ cⁿ xⁿ = (c x)ⁿ.

Strikte Ungleichung

Ist x > 0, so sind alle Summanden der Exponentialreihe für x positiv, sodass exp(x) > x²ⁿ/(2n)!. Ist n ≥ 1, so ist (2n)! < (2n)²ⁿ. Damit erhalten wir in diesen Fällen exp(x) < (cx)ⁿ für alle x ≥ 4 n².

Der Zusatz ergibt sich durch die Wahl von c = 1.