2. Häufungspunkte von Folgen und Mengen
Übung 1
Sei (xn)n ∈ ℕ eine konvergente Folge in ℝ, und sei x = limn xn. Weiter sei (yn)n ∈ ℕ eine Teilfolge von (xn)n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass limn yn = x.
Lösungshinweis
Nachweis der Konvergenzbedingung für eine Teilfolge (yn)n ∈ ℕ = (xin)n ∈ ℕ. Durch die strenge Monotonie der Index-Folge (in)n ∈ ℕ sind „gute n0“ auch gut für die Teilfolge.
Übung 2
Sei E ⊆ ℝ endlich. Zeigen Sie, dass es eine Folge (xn)n ∈ ℕ in ℝ gibt mit
{ x ∈ ℝ | x ist ein Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ } = E.
Lösungshinweis
Unterscheiden Sie die Fälle E = ∅ und E ≠ ∅. Im nichtleeren Fall sind periodische Folgen nützlich.
Übung 3
Seien (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ Folgen in ℝ. Für alle n sei yn ein Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ. Zeigen Sie:
Jeder Häufungspunkt von (yn)n ∈ ℕ ist ein Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ.
Lösungshinweis
Ohne Einschränkung ist (yn)n ∈ ℕ konvergent gegen ein y*. Wählen Sie für jedes n eine gegen yn konvergente Teilfolge (xi(n, k))k ∈ ℕ von (xn)n ∈ ℕ. Mit Hilfe der Doppel-Indizes i(n, k) lässt sich rekursiv eine gegen y* konvergente Teilfolge von (xn)n ∈ ℕ konstruieren. Achten Sie dabei auf erforderliche strenge Monotonie der Index-Folge.
Übung 4
Sei (xn)n ∈ ℕ eine beschränkte Folge in ℝ, und sei x ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | limn xn = x. |
(b) | x ist der einzige Häufungspunkt von (xn)n ∈ ℕ. |
Lässt sich hieraus folgern, dass jede divergente Folge in ℝ entweder keinen oder mindestens zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt? Gilt die Äquivalenz ohne die Voraussetzung der Beschränktheit?
Lösungshinweis
Die Implikation von (a) nach (b) ist (nach obiger Übung) einfach zu beweisen. Für die andere Implikation bietet sich ein indirekter Beweis an. Der Satz von Bolzano-Weierstraß liefert einen von x verschiedenen Häufungspunkt.