7. Die Exponentialreihe
Übung 1
Zeigen Sie:
(a) | Für alle x < y gilt exp(x) < exp(y). |
(b) | Für alle x, y ∈ ℝ mit x ≠ y gilt exp((x + y)/2) < exp(x) + exp(y)2. |
(c) | Für alle x ∈ ℝ gilt exp(x) ≥ 1 + x. |
(d) | Für alle x < 1 gilt exp(x) ≤ 11 − x. |
Lösungshinweis
Die erste Aussage folgt aus dem Additionstheorem und der Exponentialreihe unter Beachtung der Differenz y − x.
Die Aussage (b) ergibt sich aus der Ungleichung < (a + b)/2 für a, b > 0 mit a ≠ b. Diese Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel lässt sich mit Hilfe der Binomischen Formeln beweisen.
Für (c) ist die Restgliedabschätzung der Exponentialreihe hilfreich. Alternativ kann ein Pendelfolgenargument verwendet werden.
Aussage (d) lässt sich aus (c) folgern.
Übung 2
Zeigen Sie, dass die Eulersche Zahl e = ∑n 1/n! irrational ist.
Lösungshinweis
Nehmen Sie e = n/m an und betrachten Sie r = m!(e − ∑0 ≤ k ≤ m 1/k!) . Zeigen Sie r ≥ 1 mit Hilfe der Annahme und r < 1 mit einer Abschätzung durch eine geometrische Reihe oder alternativ mit Hilfe der Restgliedabschätzung für die Exponentialreihe.
Übung 3
Zeigen Sie, dass für alle x ∈ ℝ gilt:
(a) | ∑n ≥ 1 xn(n − 1)! = x exp(x), |
(b) | ∑n xn(n + 1)! = exp(x) − 1x für x ≠ 0, |
(c) | ∑n (n + 1) xnn! = (x + 1) exp(x). |
Lösungshinweis
Die Aussagen folgen aus der Definition der Expoentialreihe und allgemeinen Regeln für unendliche Reihen. Dabei ist insbesondere die Indexverschiebung
∑n ≥ 1 xn = ∑n ≥ 0 xn + 1, ∑n ≥ 0 xn = ∑n ≥ 1 xn − 1.
hilfreich.
Übung 4
Sei n ∈ ℕ. Weiter sei c ≥ 0 beliebig. Zeigen Sie:
exp(x) ≥ (c x)n für alle x ∈ ℝ mit x ≥ 4 n2 c,
Zudem gilt: Ist n ≠ 0 oder x > 0, so ist exp(x) > (c x)n.
Insbesondere gilt
exp(x) ≥ xn für alle x ∈ ℝ mit x ≥ 4 n2.
Lösungshinweis
Für ein beliebiges x ≥ 0 gilt exp(x) > xk/k! für alle Summanden xk/k! der Exponentialreihe für x. Finden Sie nun einen geeigneten Summanden mit xk/k! ≥ c xn unter der Bedingung x ≥ 4n2. Für die Gewinnung der Ungleichung sind die Potenzregeln und die elementare Abschätzung k! ≤ kk hilfreich.