6. Die Taylor-Entwicklung
Übung 1
Sei y ∈ ℝ. Beweisen Sie den Binomischen Lehrsatz
(x + y)n = ∑k ≤ n xk yn − k für alle x ∈ ℝ
durch Taylor-Entwicklung der Funktion f : ℝ → ℝ mit
f (x) = (x + y)n für alle x ∈ ℝ.
Lösungshinweis
Berechnen Sie die Ableitungen f (0)(x), …, f (n)(x) und stellen Sie allgemein f (k)(x) für k = 0, …, n mit Hilfe von Binomialkoeffizienten dar. Geben Sie nun das Taylor-Polynom n-ten Grades von f für einen geeigneten Entwicklungspunkt an. Dadurch ergibt sich der Binomische Lehrsatz.
Übung 2
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom der Ordnung 3 für die Funktion arcsin : [ −1, 1 ] → ℝ im Entwicklungspunkt p = 1/2.
Lösungshinweis
Wie üblich in drei Schritten: (1) Berechnung der ersten drei Ableitungen des Arkussinus. (2) Auswerten der Funktion und der Ableitungen im Entwicklungspunkt. (3) Berechnung des Taylor-Polynoms.
Die Ableitung arcsin′(x) = (1 − x2)−1/2 darf als bekannt vorausgesetzt werden. Die weiteren Ableitungen können mit den Ableitungsregeln berechnet werden. Zur Berechnung des Funktionswertes arcsin(1/2) ist eine frühere Übungsaufgabe zu den trigonometrischen Funktionen nützlich.
Übung 3
Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion f : ] −∞, 0 [ → ℝ mit
f (x) = x−2 für alle x < 0
im Entwicklungspunkt p = −1.
Lösungshinweis
Berechnen Sie die ersten Ableitungen, um eine allgemeine Formel für f (n)(x) raten zu können. Beweisen die Formel durch vollständige Induktion. Bestimmen Sie nun die Ableitungswerte f (n)(−1) und berechnen sie damit die Taylor-Reihe T−1 f.
Übung 4
Sei f : [ 0, ∞ [ → ℝ mit
f (x) = für alle x ≥ 0
die Quadratwurzelfunktion. Bestimmen Sie die Taylor-Reihe T1 f von f für den Entwicklungspunkt p = 1. Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den Konvergenzbereich Kf, 1 = { x ∈ ℝ | T1 f (x) konvergiert } der Reihe.
Lösungshinweis
Berechnen Sie explizit die einige Ableitungen von f. Erstellen Sie aufgrund der Form dieser Ableitungen eine Hypothese über die allgemeine Ableitung f (n) für n ≥ 1. Beweisen Sie nun die Hypothese durch vollständige Induktion. Auswertung der Ableitungen an der Stelle 1 führt zur Taylor-Reihe.
Zusatzaufgabe:
Zur Berechnung des Konvergenzbereichs finden wir konvergente Majoranten. Die geometrische Reihe führt zur Konvergenz in ] 0, 2 [. Für den rechten Randpunkt 2 ist das Leibniz-Kriterium geeignet. Der linke Randpunkt 0 ist schwieriger zu behandeln. Hier führt eine Majorisierung der Form ∑n ≥ 1 1/ns mit einem geeignet gewählten s ∈ ] 1, ∞ [ zum Ziel. Sie dürfen verwenden, dass diese Reihen für alle reellen s > 1 konvergieren.