7. Potenzreihen

Übung 1

Bestimmen Sie die Konvergenzbereiche der folgenden Potenzreihen in ℝ.

(a)

∑n an xn  mit an  ∈  { 0, 1 } für alle n,

(b)

∑n xn2n,

(c)

∑n ≥ 1 (x − 1)nn.

Lösungshinweis

Verwenden Sie die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler zur Berechnung der Konvergenzradien. Die Konvergenzbereiche ergeben sich nun durch Konvergenz- und Divergenznachweise in den Randpunkten. In (a) ist eine Fallunterscheidung nötig.

Übung 2

Bestimmen Sie die folgenden Summen für alle x mit |x| < 1:

(a)

∑n ≥ 1 xnn + 1,

(b)

∑n ≥ 1 xn2n − 1.

Lösungshinweis

Betrachten Sie die Logarithmusreihe in der Form log(1 + x) und Varianten wie log(1 − x). Für (b) ist zudem die Arkustangensreihe nützlich. Weiter ist in (b) eine Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von x zu beachten.

Übung 3

Sei (an)n  ∈  ℕ die Folge der Fibonacci-Zahlen, d. h. es gilt

a0  =  a1  =  1,  an + 2  =  an  +  an + 1  für alle n.

Sei φ = Φ = (1 + 5)/2 der Goldene Schnitt. Zeigen Sie mit Hilfe von

limn anan + 1  =  1φ,

dass gilt:

(a)

Die Potenzreihe ∑n an xn hat den Konvergenzradius 1/φ.

(b)

Für alle x mit |x| < 1/φ gilt

∑n an xn  =  11  −  x  −  x2.

Lösungshinweis

Die erste Aussage ergibt sich aus den Formeln für den Konvergenzradius. Zu (b): Einsetzen der Rekursionsgleichung und Indexverschiebung.

Übung 4

Zeigen Sie mit Hilfe von Potenzreihen, dass es differenzierbare Funktionen f, g, h : ℝ → ℝ gibt mit den folgenden Eigenschaften:

(i)

f ′  =  g,  g′  =  h,  h′  =  f.

(ii)

f (0)  =  1,  g(0)  =  0,  h(0)  =  0.

Lösungshinweis

Konstruieren Sie geeignete Teilreihen der Exponentialreihe. Die Reihen lassen sich mit dem Blick auf gliedweises Differenzieren spielerisch finden. Aus (i) ergibt sich, dass die Funktionen eine bestimmte Differentialgleichung erfüllen.