1. Das Riemann-Integral
Übung 1
Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = x2 für alle x ∈ [ 0, 1 ]. Berechnen Sie jeweils die Riemann-Summen ∑p0 f, …, ∑p4 f für die äquidistanten Partitionen p0, …, p4 von [ 0, 1 ] der Längen 1, …, 5 mit
(a) | linksseitigen |
(b) | mittigen |
(c) | rechtsseitigen |
Stützstellen. (Die berechneten Werte können Sie in Form einer Tabelle angeben.) Welcher Summen-Typ approximiert den Wert 1/3 des zugehörigen Integrals am besten (gemessen an der Länge der Partition)? Wie lässt sich dies erklären?
Lösungshinweis
Die Riemann-Summen lassen sich konkret ausrechnen (bestimmen Sie hierzu die Intervall-Längen und die Stützstellen der drei Typen in Abhängigkeit von der Länge n der Partition). Die Approximationsgüte ergibt sich aus dem Monotonieverhalten von f.
Übung 2
Sei f : [ a, b ] → ℝ integrierbar. Zeigen Sie, dass f beschränkt ist.
Lösungshinweis
Zeigen Sie vorab, dass für alle Partitionen p, q von [ a, b ] einer gewissen Feinheit δ gilt, dass |∑p f − ∑q f| < 1. Nehmen Sie nun an, dass f unbeschränkt ist, und erzeugen Sie einen Widerspruch, indem Sie zwei Partitionen p und q der Feinheit δ definieren, die sich nur durch eine Stützstelle unterscheiden.