5b. Kompaktheit in ℝ (Lösungen)

Übung 1

Zeigen Sie:

(a)	Sind C₁, …, C_n ⊆ ℝ kompakt, so ist C = C₁ ∪ … ∪ C_n kompakt.

(b)	Jede endliche Teilmenge von ℝ ist kompakt.

Lösung zur Übung 1

zu (a):

Sei 𝒰 eine offene Überdeckung von C. Wir zeigen, dass 𝒰 endlich reduzierbar ist. Wegen C₁ ⊆ C ist 𝒰 eine offene Überdeckung von C₁. Da C₁ kompakt ist, gibt es ein endliches 𝒰₁ ⊆ 𝒰 mit C₁ ⊆ ⋃ 𝒰₁. Analoges gilt für die kompakten Mengen C₂, …, C_n, sodass es endliche Mengen 𝒰_k ⊆ 𝒰 für k = 1, …, n gibt mit

C_k ⊆ ⋃ 𝒰_k für k = 1, …, n.

Sei 𝒱 = 𝒰₁ ∪ … ∪ 𝒰_n. Dann ist 𝒱 eine endliche Teilmenge von 𝒰 und es gilt

C = C₁ ∪ … ∪ C_n ⊆ ⋃_{1 ≤ k ≤ n} ⋃ 𝒰_k = ⋃ 𝒱.

Damit ist gezeigt, dass 𝒰 endlich reduzierbar ist.

Bemerkung

Die endlichen Teilsysteme können wir auch in der Form

𝒰₁ = { U_1, 1, …, U_1, k₁ }, C₁ ⊆ U_1, 1 ∪ … ∪ U_1, k₁,

𝒰₂ = { U_2, 1, …, U_2, k₂ }, C₂ ⊆ U_2, 1 ∪ … ∪ U_2, k₂,

…

𝒰_n = { U_n,1, …, U_{n, k_n} }, C_n ⊆ U_n, 1 ∪ … ∪ U_{n, k_n}

schreiben mit k₁, …, k_n  ∈  ℕ. Dann gilt

C ⊆ U_1,1 ∪ … ∪ U_1, k₁ ∪ … ∪ U_n,1 ∪ … ∪ U_{n, k_n}

mit endlich vielen Elementen des Systems 𝒰 auf der rechten Seite.

zu (b):

Jede Einermenge { x } mit x  ∈  ℝ ist kompakt. Denn ist 𝒰 eine offene Überdeckung von { x }, so gibt es ein U  ∈  𝒰 mit x  ∈  U. Dann ist { U } eine endliche Teilüberdeckung von { x } in 𝒰. Nach (a) ist also jede endliche Menge C = { x₁, …, x_n } = { x₁ } ∪ … ∪ { x_n } kompakt.

Übung 2

Sei [ a, b ] ⊆ ℝ mit a < b. Zeigen Sie die Kompaktheit von [ a, b ] mit Hilfe der Prinzips der Intervallschachtelung.

Lösung zur Übung 2

Zur Konstruktion der Intervallschachtelung verwenden wir folgende allgemeine Aussage:

(+)	Ist 𝒰 eine Überdeckung von P = P₁ ∪ P₂ ⊆ ℝ und nicht endlich reduzierbar bzgl. P, so ist 𝒰 nicht endlich reduzierbar bzgl. P₁ oder nicht endlich reduzierbar bzgl. P₂.

Denn sind 𝒰₁ und 𝒰₂ endliche Teilüberdeckungen von P₁ bzw. P₂ in 𝒰, so ist 𝒰₁ ∪ 𝒰₂ eine endliche Teilüberdeckung von P in 𝒰.

Sei nun 𝒰 eine offene Überdeckung von [ a, b ]. Annahme, 𝒰 ist nicht endlich reduzierbar. Nach (+) können wir durch wiederholte Intervallhalbierung rekursiv Intervalle [ a_n, b_n ] für n ≥ 0 konstruieren, sodass alle n gilt:

(i)	[ a₀, b₀ ] = [ a, b ]

(ii)	[ a_n + 1, b_n + 1 ] ist die linke oder rechte Hälfte von [ a_n, b_n ]

(iii)

b_n − a_n = (b − a)/2ⁿ

(iv)	𝒰 ist nicht endlich reduzierbar bzgl. [ a_n, b_n ]

(Dabei wenden wir (+) wiederholt auf [ a_n, b_n ] = P₁ ∪ P₂ an, wobei P₁ und P₂ die linke bzw. rechte Hälfte von P = [ a_n, b_n ] sind. Kurz: Wir wählen immer eine Hälfte, die „𝒰 ist nicht endlich reduzierbar“ aufrecht erhält.)

Nach dem Prinzip der Intervallschachtelung gibt es ein p  ∈  [ a, b ] mit

{ p } = ⋂_n [ a_n, b_n ] ⊆ [ a, b ].

Da 𝒰 eine Überdeckung von [ a, b ] ist, gibt es ein U  ∈  𝒰 mit p  ∈  U_p. Da U offen ist, gibt es ein ε > 0 mit U_ε(p) ⊆ U. Sei n derart, dass

b_n − a_n = (b − a)/2ⁿ < ε.

Wegen p  ∈  [ a_n, b_n ] gilt

p − a_n ≤ b_n − a_n < ε, b_n − p ≤ b_n − a_n < ε.

Folglich gilt

[ a_n, b_n ] ⊆ U_ε(p) ⊆ U.

Dann ist aber { U } eine endliche (sogar einelementige) Teilüberdeckung von [ a_n, b_n ] in 𝒰, im Widerspruch zu (iv).