3. Metrische Räume
Übung 1
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Für alle x, y ∈ X seien
d1(x, y) = min(1, d(x, y)), d2(x, y) = d(x, y)1 + d(x, y).
Zeigen Sie, dass d1 und d2 Metriken auf X sind.
Lösungshinweis
Die Nullbedingung und die Symmetrie lassen sich leicht mit Hilfe der entsprechenden Eigenschaften der Metrik d nachweisen. Für den Nachweis der Dreiecksungleichung ist es nützlich, allgemeine Ungleichung für nichtnegative reelle Zahlen (mögliche Werte von d, d1 und d2) zu formulieren und vorab zu beweisen. Konkret sind geeignet:
(1) | Für alle a, b, c ≥ 0 gilt: min(a, b + c) ≤ min(a, b) + min(a, c) |
(2) | Für alle 0 ≤ a ≤ b gilt: a/(1 + a) ≤ b/(1 + b). |
Übung 2
Sei f : ℝ → ℝ streng monoton steigend. Für alle x, y ∈ ℝ setzen wir
d(x, y) = |f (x) − f (y)|.
Zeigen Sie, dass (X, d) ein metrischer Raum ist. Welche Eigenschaften gelten und welche sind verletzt, wenn f monoton steigend, aber nicht streng monoton steigend ist ?
Lösungshinweis
Der erste Teil besteht im Nachweis der drei Axiome eines metrischen Raumes. Achten Sie dabei darauf, wo „f (x) < f (y) für x < y“ und nicht nur „f (x) ≤ f (y) für x < y“ gebraucht wird.
Übung 3
Zeigen oder widerlegen Sie, dass in allen metrischen Räumen (X, d) für alle x, y ∈ X und alle Folgen (xn)n ∈ ℕ in X gilt:
(a) | Gilt x = limn xn, so gilt limn d(xn, x) = 0. |
(b) | Gilt limn d(xn, x) = 0, so gilt x = limn xn. |
(c) | Gilt x = limn xn, so gilt d(x, y) = limn d(xn, y). |
(d) | Gilt d(x, y) = limn d(xn, y), so gilt x = limn xn. |
Lösungshinweis
Die korrekten Aussagen lassen sich durch einen direkten Nachweis der Definitionen des Grenzwerts einer Folge in einem metrischen Raum und in den reellen Zahlen beweisen (dieser Nachweis besteht zum Teil nur aus einfachen logischen Umformungen). Dabei ist auch die Dreiecksungleichung nützlich. Gegenbeispiele lassen sich in der euklidischen Metrik auf ℝ finden (es sind keine „exotischen“ metrischen Räume nötig).
Übung 4
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Seien (xn)n ∈ ℕ, (yn)n ∈ ℕ konvergente Folgen in X, und seien x = limn xn und y = limn yn. Zeigen Sie:
d(x, y) = limn d(xn, yn).
Lösungshinweis
Die Folge (d(xn, yn))n ∈ ℕ ist eine Folge in ℝ. Zu zeigen ist, dass diese Folge gegen die reelle Zahl d(x, y) konvergiert. Hierzu ist die ε-Definition der Konvergenz einer reellen Folge nachzuweisen. Dies kann mit Hilfe der Konvergenz der Folgen (xn)n ∈ ℕ und (yn)n ∈ ℕ in (X, d), einem ε/2-Argument und der Dreiecksungleichung in (X, d) gezeigt werden. Achten sie darauf, in der Argumentation die Metrik d in X vom reellen Betrag zu unterscheiden.