4. Topologie metrischer Räume
Übung 1
Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
(a) | Für alle x, y ∈ X mit x ≠ y gibt es eine Umgebung U von x und eine Umgebung V von y mit U ∩ V = ∅. |
(b) | Für alle x ∈ X ist { x } abgeschlossen. |
Lösungshinweis
zu (a): Definieren Sie, für beliebige x ≠ y in X, geeignete offene Mengen U und V mit Hilfe des Abstands ε = d(x, y) von x und y. Zeigen Sie durch ausführlichen Nachweis mit Hilfe der Axiome einer Metrik, dass U und V disjunkt sind (dabei spielt die Dreiecksungleichung eine Schlüsselrolle).
zu (b): Stellen Sie das Komplement X − { x } einer Einermenge { x } als Vereinigung von offenen Mengen dar.
Übung 2
Seien d und e topologisch äquivalente Metriken auf X, und sei (xn)n ∈ ℕ eine Folge in X. Zeigen Sie, dass die Folge in (X, d) genau dann konvergiert, wenn sie in (X, e) konvergiert. Zeigen Sie zudem, dass im Fall der Konvergenz die Grenzwerte übereinstimmen.
Lösungshinweis
Nehmen Sie an, dass die Folge in (X, d) gegen x konvergiert. Zeigen Sie unter Verwendung der Definition des Grenzwerts einer Folge (X, e) und der Voraussetzung der topologischen Äquivalenz, dass x auch der Grenzwert der Folge in (X, e) ist. Die andere Implikation ergibt sich analog.