6b. Taylor-Entwicklung und lokale Extremwerte (Lösungen)

Übung 1

Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝⁿ, dreimal stetig differenzierbar, und sei p  ∈  P.

(a)	Bestimmen Sie (in Analogie zur Diskussion der Taylor-Polynome der Ordnungen 0, 1 und 2) das Taylor-Polynom T³_p f.

(b)	Welche partiellen Ableitungen tauchen für den Fall n = 2 im Vergleich zum Taylor-Polynom T²_p f zweiter Ordnung zusätzlich auf?

(c)	Berechnen Sie T³₀ f für f : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = x² y.

Lösung zur Übung 1

zu (a):

Für alle x  ∈  ℝⁿ gilt:

T³_p f (x)	= ∑_{σ(k) ≤ 3}^{f ^(k)(p)}_k! (x − p)^k
	= T²_p f (x) + ∑_σ(k) = 3^{f ^(k)(p)}_k! (x − p)^k

Die Summe über „σ(k) = 3“ hat die Summanden:

(1)	¹₆ ∑_{1 ≤ j ≤ n} ∂_j³ f (p) (x − p)_j³(k! = 1)

(2)	¹₂ ∑_{1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j} ∂_i ∂_j² f (p) (x − p)_i (x − p)_j²(k! = 2)

(3)	∑_{1 ≤ i < j < k ≤ n} ∂_i, j, k f (p) (x − p)_i (x − p)_j (x − p)_k(k! = 1)

Die Summe (2) ist im Fall n = 1 leer, die Summe (3) im Fall n ≤ 2.

In langer Darstellung lautet die Summe über „σ(k) = 3“:

(+) ¹₆ ∑_{1 ≤ i, j, k ≤ n} ∂_i, j, k f (p) (x − p)_i (x − p)_j (x − p)_k(n³ Summanden)

Die Summe (1) ist eine Teilsumme der Langform (+). Jeder Summand der Summe (2) taucht im Fall n ≥ 2 in der Langform genau dreimal auf. Jeder Summand der Summe (3) ist in der Langform im Fall n ≥ 3 sogar sechsmal vorhanden.

Beispiele

So führen etwa für n ≥ 2 die drei Tripel

(i, j, k) = (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)

jeweils zum Summanden

∂₁² ∂₂ f (p) (x − p)₁² (x − p)₂ in (2).

Analog führen für n ≥ 3 die sechs Tripel

(i, j, k) = (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

jeweils zum Summanden

∂₁ ∂₂ ∂₃ f (p) (x − p)₁ (x − p)₂ (x − p)₃ in (3).

Bemerkung

Die Summen in (1), (2), (3) und (+) haben n, n (n− 1), „3 aus n“ bzw. n³ Summanden. Unsere Überlegungen zeigen:

n + 3 n (n − 1) + 6 $( \binom{n}{3} )$ = n³ für alle n ≥ 3.

Diese Formel lässt sich auch leicht direkt verifizieren.

zu (b):

Im Fall n = 2 ist die Summe (3) leer. Im Vergleich zum Taylor-Polynom zweiter Ordnung gibt es vier neue Summanden:

(1)	¹₆ ( ∂₁³ f (p) (x − p)_j³ + ∂₂f (p) (x − p)₂³)

(2)	¹₂ ( ∂₁ ∂₂² f (p) (x − p)₁ (x − p)₂² + ∂₁² ∂₂ f (p) (x − p)₁² (x − p)₂)

zu (c):

Für f : ℝ² → ℝ mit f(x, y) = x² y gilt:

grad(f)(x, y) = (2 x y, x²), H_f (x, y) = ((2 y, 2 x), (2 x, 0))

∂₁³ f (x, y) = 0, ∂₂³ f (x, y) = 0, ∂₁ ∂₂² f (x, y) = 0, ∂₁² ∂₂ f (x, y) = 2

Damit erhalten wir im Entwicklungspunkt p = 0:

T³₀ f (x, y) = ¹₂ 2 (x − 0)² (y − 0) = x² y = f(x, y) für alle (x, y)  ∈  ℝ²

Das Taylor-Polynom dritter Ordnung von f ist also f (ein Polynom dritten Grades in zwei Variablen). Vgl. hierzu die Reproduktion von Polynomen durch Taylor-Entwicklung im eindimensionalen Fall.

Übung 2

Wir definieren f, g, h : ℝ² → ℝ durch:

f(x, y) = x², g(x, y) = x² + y³, h(x, y) = x² + y⁴ für alle (x, y)  ∈  ℝ².

Zeigen Sie:

(a)	grad(f)(0) = grad(g)(0) = grad(h)(0) = 0.

(b)	H_f(0), H_g(0), H_h(0) sind positiv semidefinit, aber nicht positiv definit.

(c)	Der Ursprung 0 ist eine nicht strikte lokale Minimalstelle von f, keine lokale Extremalstelle von g und eine strikte lokale Minimalstelle von h.

Lösung zur Übung 2

zu (a):

Für alle (x, y)  ∈  ℝ² gilt:

grad(f)(x, y) = (2x, 0)	grad(f)(0) = (0, 0) = 0
grad(g)(x, y) = (2x, 3 y²)	grad(g)(0) = (0, 0) = 0
grad(g)(x, y) = (2x, 4 y³)	grad(g)(0) = (0, 0) = 0

zu (b):

Für alle (x, y)  ∈  ℝ gilt:

H_f(x, y) = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , H_f(0) = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$

H_g(x, y) = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 y \end{matrix} )$ , H_g(0) = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$

H_h(x, y) = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 12 y^{2} \end{matrix} )$ , H_h(0) = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$

Sei H = H_f(0) = H_g(0) = H_h(0). Dann gilt für alle (x, y)  ∈  ℝ²:

〈 (x, y), H (x, y) 〉 = 〈 (x, y), (2x, 0) 〉 = 2x² ≥ 0.

Damit ist H positiv semidefinit. Wegen 〈 (0, 1), H (0, 1)  〉 = 0 ist H nicht positiv definit.

zu (c):

Da H weder (positiv oder negativ) definit noch indefinit ist, ist das hinreichende Definitheits-Kriterium für lokale Extrema nicht anwendbar. Wir weisen die Eigenschaften direkt nach.

Es gilt f (0) = g(0) = h(0) = 0.

Für alle (x, y)  ∈  ℝ² gilt f(x, y) = x² ≥ 0. Damit hat f ein lokales Minimum bei 0. Da f(0, y) = 0 für alle y gilt, ist das Minimum nicht strikt.

Für alle (0, y)  ∈  ℝ² gilt:

g(0, y) = y³ > 0, falls y > 0,

g(0, y) = y³ < 0, falls y < 0.

Damit nimmt g in jeder Umgebung des Nullpunkts sowohl positive als auch negative Werte an, sodass der Nullpunkt keine lokale Extremalstelle von g ist.

Für alle (x, y)  ∈  ℝ² mit (x, y) ≠ 0 gilt

h(x, y) = x² + y⁴ > 0.

Wegen h(0) = 0 ist also der Nullpunkt eine strikte lokale Minimalstelle von h.