6. Taylor-Entwicklung und lokale Extremwerte

Übung 1

Sei f : P → ℝ, P ⊆ ℝn, dreimal stetig differenzierbar, und sei p  ∈  P.

(a)

Bestimmen Sie (in Analogie zur Diskussion der Taylor-Polynome der Ordnungen 0, 1 und 2) das Taylor-Polynom T3p f.

(b)

Welche partiellen Ableitungen tauchen für den Fall n = 2 im Vergleich zum Taylor-Polynom T2p f zweiter Ordnung zusätzlich auf?

(c)

Berechnen Sie T30 f für f : ℝ2 → ℝ mit f(x, y) = x2 y.

Lösungshinweis

zu (a):  Verwenden Sie die Definition der Taylor-Polynome und spalten Sie die im Vergleich zur Ordnung 2 neuen Summanden („σ(k) = 3“) ab. Gruppieren Sie diese Summanden nach k!  ∈  { 1, 2, 3 }. Optional: Vergleichen Sie die lange Darstellungsform mit n3 Summanden für „σ(k) = 3“.

zu (b):  Geben Sie die neuen Summanden explizit an. Durch die niedrige Dimension n = 2 fallen viele Summanden der allgemeinen Form weg.

zu (c):  Berechnung und Auswertung aller ersten, zweiten und dritten Ableitungen und Einsetzen in die Formel für das Taylor-Polynom.

Übung 2

Wir definieren f, g, h : ℝ2 → ℝ durch:

f(x, y)  =  x2,  g(x, y)  =  x2 +  y3,  h(x, y)  =  x2  +  y4  für alle (x, y)  ∈  ℝ2.

Zeigen Sie:

(a)

grad(f)(0)  =  grad(g)(0)  =  grad(h)(0)  =  0.

(b)

Hf(0), Hg(0), Hh(0) sind positiv semidefinit, aber nicht positiv definit.

(c)

Der Ursprung 0 ist eine nicht strikte lokale Minimalstelle von f, keine lokale Extremalstelle von g und eine strikte lokale Minimalstelle von h.

Lösungshinweis

Die Gradienten und Hesse-Matrizen lassen sich leicht berechnen. Die Definitheitseigenschaften lassen sich anhand der Definition nachweisen. Das hinreichende Kriterium für lokale Extrema ist nicht anwendbar, sodass die Eigenschaften in (c) direkt nachgewiesen werden müssen.